与三角形有关的定理和公式

与三角形有关的定理和公式

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1、与三角形有关的定理和公式正弦定理:设三角形的三边为a、b、c,他们的对角分别为A、B、C,外接圆半径为r,则称关系式asinA=bsinB=csinC=2r为正弦定理。余弦定理:设三角形的三边为a、b、c,他们的对角分别为A、B、C,则称关系式a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC为余弦定理。二倍角公式:(a)sin2a=2sinacosa(b)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2α-1=1-2sin2a(c)tan2a=2tana1-tan2

2、a以正切表示二倍角:(a)sin2a=2tana1+tan2a(b)cos2a=1-tan2a1+tan2a(c)tan2a=2tana1-tan2a三倍角公式:(a)sin3a=3sina-4sin3a(b)cos3a=4cos3a-3cosa积化和差公式:sinαsinβ=-12[cosα+β-cosα-β]注意:此时公式前有负号或:sinαsinβ=12[cosα-β-cosα+β]注意:此时差的余弦在和的余弦前面cosαcosβ=12[cosα+β+cosα-β]sinαcosβ=12[sin(α+β)+s

3、in(α-β)]cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)]和差化积公式:sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2注意右式前的负号记忆口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦或:帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂或:正加正余正减余正余加余余余减负正正双曲函数shθ=eθ-e-θ2chx=eθ+e-θ2

4、thθ=shθchθ诱导公式常用的诱导公式有以下六组:(公式一~公式五函数名未改变,公式六函数名发生改变)公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)sec(2kπ+α)=secα(k∈Z)csc(2kπ+α)=cscα(k∈Z)公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-c

5、osαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsec(π+α)=-secαcsc(π+α)=-cscα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsec(-α)=secαcsc(-α)=-cscα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotαsec(π-α)=-secαc

6、sc(π-α)=cscα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotαsec(2π-α)=secαcsc(2π-α)=-cscα小结:以上五组公式可简记为:函数名不变,符号看象限。即α+k•2π(k∈Z),﹣α,π±α,2π-α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:⒈π/2+

7、α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=—sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsec(π/2+α)=-cscαcsc(π/2+α)=secα⒉π/2-α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsec(π/2-α)=cscαcsc(π/2-α)=secα⒊3π/2+α与α的三角函数值之间的关系sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π

8、/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsec(3π/2+α)=cscαcsc(3π/2+α)=-secα⒋3π/2-α与α的三角函数值之间的关系sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanαsec(3π/2-α)=-cscα

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