合肥工业大学数电第二章逻辑代数和逻辑函数

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1、第二章逻辑代数和逻辑函数2.1基本逻辑运算2.2逻辑函数的变换和化简2.3逻辑函数的卡诺图化简法本章要求：掌握逻辑代数的基本公式、运算定律、规则。熟悉逻辑函数的表示方法以及逻辑函数的公式法化简。掌握卡诺图及用卡诺图化简逻辑函数的方法。2.1基本逻辑运算数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。0和1表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、

2、开关的开合等。A为原变量，为反变量1.基本运算公式(0-1律，还原律)与（乘）或（加）非2.基本运算定律结合律交换律分配律普通代数不适用!证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边吸收律:吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。)（1）原变量的吸收：证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A长中含短，留下短。（2）反变量的吸收：证明：长中含反，去掉反。想一想：?（3）混合变量的吸收：证明：1吸收正负相对，余全完。反演律

3、（德•摩根(De•Morgan)定理）可以用列真值表的方法证明：3.基本运算规则（1）运算顺序：先括号再乘法后加法。（2）代入规则：在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。例：已知则得到（3）反演规则：将函数式F中所有的•++•变量与常数均取反（求反运算）互补运算2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F'显然：1.变换时，原函数运算的先后顺序不变例1：与或式注意括号注意括号例2：与或式反号不动反号不动（4）对偶规则：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对偶式：对于任何一个逻辑式Y，若将

4、其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式Y´，则Y´叫做Y的对偶式对偶式2.2逻辑函数的变换和化简四种表示方法逻辑代数式(逻辑表示式,逻辑函数式)11&&≥1ABY逻辑电路图:卡诺图n个输入变量种组合。真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。2.2.1逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换1、从真值表写出逻辑函数式不同表示方法之间的相互转换：一般方法：（1）找出真值表中是逻辑函数为1的那些输入变量取值的组合；（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量

5、；（3）将这些乘积项相加，即得输出的逻辑函数式。例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。例如：2、从逻辑函数式写出真值表3、从逻辑函数式画出逻辑图方法：图形符号代替式中的运算符号即可例：已知逻辑函数为画出对应的逻辑图&C1A≥11B&&≥1Y逻辑代数式是把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。例：一个逻辑函数可以表示为不同的表达式。对应的逻辑图也不同。实际应用中，电路

6、越简单，可靠性越高，成本越低，故常需对函数式进行变换和化简。2.2.2逻辑函数的变换和化简与-或式：由几个乘积项相加组成的逻辑式。化简的目的：得到逻辑函数的最简形式。最简与-或式：逻辑式中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项里的因子最少。通常先化简成最简与-或式，再转换成其他形式2.2.2逻辑函数的变换和化简（公式法）反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以得到函数式的最简形式。例1：(1)吸收法:利用例2：反变量吸收提出AB=1，并项提出A(2)并项法:例3：化简（3）配项法化简例4：化简（4）加项法例5：再看一例题例5：化简吸收吸收吸收吸收利用公式

7、法进行化简的问题：复杂技巧性强是否最简尚不得而知2.3逻辑函数的卡诺图化简法2.3.1.最小项和最大项一、最小项1、定义：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。即输入变量的每一种组合，它构成逻辑函数的基本单元。2、特点：（1）n变量的最小项应为2n个；（2）在输入变量的任何取值下必有一个最小项而且仅有一个最小项的值为1;（3）全体最小项之和为1