同济大学线性代数第四版

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1、§5.2特征值与特征向量定义7设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的n维列向量x,使得Ax=λx(5.5)则称数λ为矩阵A的特征值,称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.设x是对应于特征值λ的特征向量,由于A(kx)=k(Ax)=k(λx)=λ(kx)k≠0,所以,kx也是A的对应于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的.因此一个特征向量只属于一个特征值.(5.5)也可以写成(A-λI)x=0(5.6)这是一个含n个未知量的齐次线性方程组.根据定义7

2、,A的特征值就是使(5.6)有非零解的λ,而方程(5.6)有非零解的充要条件是

3、A-λI

4、=0(5.7)方程(5.7)的右端

5、A-λI

6、为λ的多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.此多项式称为A的特征多项式.λ0是方阵A的特征值,则由(A-λ0I)x=0可求得非零解x=P0,P0就是A的对应于特征值λ0的一个特征向量.综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:第一步计算特征多项式

7、A-λI

8、;第二步求出特征多项式

9、A-λI

10、的的全部根,即A的全部特征值.第三步对于A的每个特征值λ0,求出齐次

11、线性方程组(A-λ0I)x=0的一个基础解系.定理3(2)由于推论n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.注:例11设A是奇数阶实矩阵,证思考题:

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