向量的内积与正交化

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1、向量与线性方程组的求解第1节线性方程组的高斯消元解法及解判定定理第2节向量及其运算第3节向量组的线性相关性及相互表示第4节向量组的秩第5节线性方程组解的结构第6节向量的内积与正交化第6节向量的内积与正交化一向量的内积、长度及向量间的夹角定义内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。内积也称作点积或点乘，并记作x·y。由于向量又可看作矩阵，借用矩阵记号，向量(列矩阵)x,y的内积又可写成(x,y)=xTy。内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量，k为实数)：(1)(x,y)=(y,x);(2)(kx,y)=k(x,y);(3)(x+y,z)=

2、(x,z)+(y,z);(x,x)≥0，当且仅当x=0时,(x,x)=0。内积还满足施瓦茨(Schwarz)不等式定义：定义向量的长度(范数,模)为向量的长度具有下述性质：(1)非负性：当x≠0时，

3、

4、x

5、

6、>0；当x=0时，

7、

8、x

9、

10、=0；(2)齐次性：

11、

12、kx

13、

14、=

15、k

16、

17、

18、x

19、

20、；(3)施瓦茨不等式：

21、(x,y)

22、≤

23、

24、x

25、

26、

27、

28、y

29、

30、；(4)三角不等式：

31、

32、x+y

33、

34、≤

35、

36、x

37、

38、+

39、

40、y

41、

42、。在二、三维空间中有向量夹角的概念，在更高维的向量空间中，夹角并没有直观的含义。但由施瓦茨不等式，当x≠0,y≠0时，有称该角度为非零向量x与y的夹角。当

43、(x,y)=0时，x与y的夹角为,此时称向量x与y正交，记为。由于零向量与任意同维向量的内积为0，所以规定零向量与任意同维向量正交。二正交的向量组及向量组的正交化若一组向量两两正交，且不含0向量，则称该向量组为正交向量组。定理：正交的向量组必线性无关。例：在n维向量空间中可以找到n个两两正交的向量。这是因为对任意的有非零解，从而任取一非零解作为则正交；2)又因方程组亦有非零解，从而可确定与正交的；3)……如此下去进一步确定出，即得n个两两正交的非零向量组。若现已有线性无关的向量组，也可以构建一个与之等价的且两两正交的向量组：以上过程称为施密特(Sch

44、imidt)正交化过程。进一步，可将单位化（规范化），对施密特正交化过程，应注意向量组与向量组等价，其中t=1,…,r例：＝＝例：可得：定理：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量，且两两正交。三正交矩阵与正交变换定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E则称A为正交矩阵，简称正交阵。对正交阵A按列自然分块，则有正交矩阵有如下性质：若A为正交矩阵，则

45、A

46、=1或

47、A

48、=-1；A为正交矩阵，则AT=A-1也为正交矩阵；若A，B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵。定义：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。性质：正交变换保持线段长度

49、不变。设y=Px为正交变换，则有由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状，这是正交变换的优良特性。