向量组的线性相关性2

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1、4.2向量组的线性相关性4.2.1.向量组的线性组合4.2.2.向量组的线性相关性4.2.1向量组的线性组合同维数的向量组成的集合叫做向量组．例定义向量组与矩阵设向量组称为矩阵A的行向量组．定义也称向量β能由向量组α1,α2,…,αm线性表示．显然：线性方程组的向量表示:例例任意n维向量可由下列向量组线性表示任意向量可由它自己所在的向量组线性表示.例定理设A=(1,2,…,n)，则下列命题等价：1obL(1,2,…,n);2oAX=b有解;证有数x1,x2,…,xn使得bL(1,2,…,n)1o2o：3oAX=b有解的判别定理

2、设R(A)=r,2o3o：AX=b有解dr+1=0解例方程的解为方程组有唯一解解例方程的解为方程的解为取一组解取另一组解定义(Ⅰ):1,2,…,r,(Ⅱ):1,2,…,s,若向量组(Ⅰ)中每个向量都可由向量组(Ⅱ)中的向量线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出.定义若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可以互相线性表出，则称向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.向量组与向量组是否等价？自反性若向量组与向量组等价，那么向量组与向量组是否等价？对称性若向量组与向量组等价，且向量组与向量组等价,传递性那么向量组与向量组是否等价？向量方程一定有0

3、解除0解外，还有非0解吗？问题4.2.2向量组的线性相关性则称是线性相关的，否则称其线性无关．定义例：判断如下线性相关性。(2)向量线性______关。相相(1)向量线性______关。例n维单位向量组线性无关.证在R2,R3中，1,2线性相关1//2(或共线).在R3中，1,2，3线性相关1,2，3共面.定理设A=(1,2,…,n)，则下列命题等价：1o1,2,…,n线性相关;2oAX=0有非零解;有不全为零的数x1,x2,…,xn使1o2o：1,2,…,n线性相关证3o设R(A)=r,2o3o：AX=

4、0有非零解r

5、(1,1,0)的解1解2R(A)=3,所以，1,2，3线性无关.线性相关性.所以,1,2，3线性无关.判断向量组解例上述方程只有零解推论向量个数>向量维数的向量组必线性相关.证R(A)≤mm,则例解4个3维向量，一定线性相关.向量组线性相关性的几个基本定理定理1若1,2,…,m线性相关，证x11+x22+…+xmm+0m+1+…+0n=0.则1,2,…,m,m+1,…,n线性相关.由1,2,…

6、,m线性相关，知存在不全为零的数x1,x2,…,xn使x11+x22+…+xmm=0.故1,2,…,n线性相关.等价命题则其任意一个部分组线性无关.若一个向量组线性无关，证明(充分性）设即有中存在一个向量（比如）能由其余向量线性表示.向量组(当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．定理2故故线性相关.设线性相关，则有不全为0的数　　　　　　使向量组(当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．定理2证明(必要性）不妨设　　　则有即能由其余向量线性表示.等价命题：向量组线性无关的充分

7、必要条件是其中任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示。向量组(当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．定理2定理3:向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量必能由线性表出，且表示式是唯一.向量组线性相关，证明则有不全为0的数若k=0，则(1)式变为：使线性相关定理3:向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量必能由线性表出，且表示式是唯一.证明下证由1,2,…,m线性表出的表示式惟一：所以表示式是唯一的.定理3:向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量必能由线性表出，且表示式是唯一.证明证明例或例证明矛盾！1.

8、线性相关与线性无关的概念；2.线性相关与线性无关的判定方法：定义法；定理法．小结