2017版高考数学(北师大版,理科)一轮复习第五章 平面向量第五章 第3讲

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1、基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a,b满足a·b=0,

2、a

3、=1,

4、b

5、=2,则

6、a-b

7、=(  )A.0B.1C.2D.解析 

8、a-b

9、====.答案 D2.(2015·南昌二模)已知a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,则

10、b

11、=(  )A.2B.C.10D.5解析 ∵a∥b,∴=,解得x=-1,∴b=(-1,2),∴

12、b

13、==.故选B.答案 B3.(2016·东北三校联考)向量a,b满足

14、a

15、=1,

16、b

17、=,(a+b)⊥(2a-b),则向量a

18、与b的夹角为(  )A.45°B.60°C.90°D.120°解析 ∵(a+b)⊥(2a-b),∴(a+b)·(2a-b)=0,∴2a2-a·b+2b·a-b2=0,∴a·b=0,∴向量a与b的夹角为90°.故选C.答案 C4.(2015·陕西卷)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(  )A.

19、a·b

20、≤

21、a

22、

23、b

24、B.

25、a-b

26、≤

27、

28、a

29、-

30、b

31、

32、C.(a+b)2=

33、a+b

34、2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2解析 对于A,由

35、a·b

36、=

37、

38、a

39、

40、b

41、cosa,b

42、≤

43、a

44、

45、b

46、恒

47、成立;对于B,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案 B5.(2015·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(  )A.

48、b

49、=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥解析 在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得

50、b

51、=2.又

52、a

53、=1,所以a·b=

54、a

55、

56、b

57、cos120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+

58、b

59、2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,故选D.答案 

60、D二、填空题6.已知向量⊥,

61、

62、=3,则·=________.解析 因为⊥,所以·=0.所以·=·(+)=2+·=

63、

64、2+0=32=9.答案 97.(2016·河南六市联考)已知向量a,b,其中

65、a

66、=,

67、b

68、=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是________.解析 设向量a和b的夹角为θ.由题意知(a-b)·a=a2-a·b=0,∴2-2cosθ=0,解得cosθ=,∴θ=.答案 8.(2016·安康调研)已知A(-1,cosθ),B(sinθ,1),若

69、+

70、=

71、-

72、(O为坐标原点),则锐角

73、θ=________.解析 法一 利用几何意义求解:由已知可知,+是以OA,OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此·=0,∴锐角θ=.法二 坐标法:+=(sinθ-1,cosθ+1),-=(-sinθ-1,cosθ-1),由

74、+

75、=

76、-

77、可得(sinθ-1)2+(cosθ+1)2=(-sinθ-1)2+(cosθ-1)2,整理得sinθ=cosθ,于是锐角θ=.答案 三、解答题9.已知平面向量a=(,-1),b=.(1)证明:a

78、⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,试求函数关系式k=f(t).(1)证明 ∵a·b=×-1×=0,∴a⊥b.(2)解 ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,∴c·d=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0.又a2=

79、a

80、2=4,b2=

81、b

82、2=1,a·b=0,∴c·d=-4k+t3-3t=0,∴k=f(t)=(t≠0).10.已知

83、a

84、=4,

85、b

86、=3,(2a-

87、3b)·(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角θ;(2)求

88、a+b

89、;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4

90、a

91、2-4a·b-3

92、b

93、2=61.又

94、a

95、=4,

96、b

97、=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.∴cosθ===-.又0≤θ≤π,∴θ=.(2)

98、a+b

99、2=(a+b)2=

100、a

101、2+2a·b+

102、b

103、2=42+2×(-6)+32=13,∴

104、a+b

105、=.(3)∵与的夹角θ=,∴∠ABC=π-=.又

106、

107、=

108、a

109、=4,

110、

111、=

112、b

113、=3,∴

114、S△ABC=

115、

116、

117、

118、sin∠ABC=×4×3×=3.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2016·合肥质量监测)在△ABC中,若

119、+

120、=

121、-

122、,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则·=(  )A.B.C.D.解析 法一 由向量的几何意义可知,△ABC是以A为直角的直角三角形,E,F为BC的三等分点,不妨设=+,=+,因此·=·=2+2+·=×4+×1=.故选B.法二 由向量的几何意义可知,△ABC是以A为直角的直角三角形,

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