2015考研数学区域积分与边界积分的关系分析之一

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1、2015考研数学：区域积分与边界积分的关系分析之一来源：文都教育在考研数学中，利用区域与边界的关系，将区域上的积分化为边界上的积分，或者相反，将边界上的积分化为区域上的积分，这是最基本的、最常用的积分计算方法，它不仅用在一元积分（定积分）、二重积分和三重积分上，也用在曲线积分和曲面积分上。为了使大家对这种积分关系有一个较为全面的认识，下面都教授对一元积分、二重积分和三重积分与边界积分的关系的各种情况做一些分析总结，供各位考生参考。1、一元函数积分（定积分）与其边界的关系反映一元函数在一个区间上的积分与其边界（即区间端点）的关系的是微积分基本

2、公式，即牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式：若为连续函数在区间上的一个原函数，则即连续函数在区间上的积分等于它的一个原函数在区间端点处的函数值之差；区间的两个端点即是区间的边界，因此，牛顿-莱布尼茨公式反映了连续函数的定积分与其边界的内在本质联系。2、二重积分与其“边界”上的积分的关系设积分区域为型区域，，在上连续，在区间上连续，则其中，区间可看作是区域的边界（或说本身）在轴上的投影，因此也可看作是一种特殊的边界积分，此外，也是在第一个自变量为时，函数从区域的下边界到上边界的一种边界积分。特别是，当时，区间就是区域的下边界。对于Y型区域

3、，类似地有：2，其中.3、三重积分与其“边界”上的积分的关系三重积分与其边界的关系，有两种表示形式：①设是空间的有界闭区域，，其中是平面上的有界闭区域（在平面上的投影），是在上的连续函数，在上连续，则，其中；这里的区域可看作是的边界在平面上的投影，因此，也可看作是一种特殊的边界积分，而可看作是从的下边界到上边界的积分，特别是，当时，区域就是的底面边界。②设，其中为竖坐标为的平面上的有界闭区域，则，其中，区间可看作是的边界在轴上的投影，因此，也可看作是一种特殊的边界积分。上面就是考研数学中的关于定积分和重积分与其边界（积分）之间关系的分析总结

4、，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，都教授还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和重要题型的分析，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想！2