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《高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设limf(x)A,xXo(i)若A0,则有0,使得当0
2、xX0
3、时，f(x)0;(ii)若有0,使得当0
4、xx0
5、时，f(x)0,则A0。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：(i)数列xn收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”(ii)limf(x)Alimf(x)limAxxx阿limf(x)AlimlimAxx0xx0xx0(
6、iv)单调有界准则极限limxx0f(x)存在的充分必要条件是(v)两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理)(vi)柯西收敛准则(不需要掌握)0,0,使得当x1、x2Uo(x0)时，恒有
7、f(x1)f(x2)
8、二.解决极限的方法如下:1.等价无穷小代换。只能在乘隙—时候使用。例题略。♦♦2.洛必达(L'hospital)法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次，必须是函数的导数要存在，假如
9、告诉f(x)、g(x)，没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：(i)“0”“一”时候直接用0(ii)“0?”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通11项之后，就能变成⑴中的形式了。即f(x)g(x)—j或f(x)g(x)g；；f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)(iii)“0°”“1”“°”对于哥指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即f(x)g(x)g(x)lnf(x)e4这样就能把哥
10、上的函数移下来了，变成“0?”型未定式。42.泰勒公式（含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）sinxcos=2.x1x—2!3xx—3!5!2!4!In(1+x)=x-nxn!1)uYu(u1)(1+x)=1ux-xenx(n1)!1)m2m1x(2m2mmx(2m)!1)n11)!(1)2!以上公式对题目简化有很好帮助C：xn,,、m1COSx2m3(1)x(2m3)!1COSx2m2x(2m2)!1)n(n1)(1n1x)Cn1(1、unx)443.两多项式相除：设an,bm均不为零P(x)n=anxn1an1xa1xao,Q(x)m,bm
11、xbmm11xbixbo(i)..limxP(x)Q(x)an,(mn)bn0,(nm),(nm)(ii)若Q(x0)0,则
12、imxx。P(x)Q(x)P(xo)Q(xo)444.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。5.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设abC。,nnnnxn，abC,求
13、imxn■n解：由于axnan，3以及limaa,
14、im(aU3)a，由
15、夹逼定理可知
16、imxnannn(*2)求limnn1(n1)21(2n)2解：由。1122n2(n1)2111/c2-2-2(2n)nnlnm；。可知，原式=0111(3)求、=j=f-n.nnnnn21n21n22n2n4nlim1lim——2lim—nn.nnn.111得，原式=117.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如:求lim12x3x2n1nxn1（
17、x
18、1）。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如:111=lnm1223n
19、(n1)1nm1n/(n1)1nm1/(n1)19.利用xx与xn1极限相同求极限。例如:（1）已知a12,an12且已知anliman存在，求该极限值。n解：设liman=A,（显然A0）则A21,即A22A10,解得结果并舍去负值得A=1+V2,na（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如设Xi叔x2J2,,xn，2xn1,求limxnn解：（i）显然xix22（ii）假设Xk1Xk2,则J2Xk1、:2Xk即XkXk12。所以,xn是单调递增数列，且有上界，收敛。limA，(显然A0)则AJ2A,即A2A20O
20、n解方程并舍去负值得A=2.即limxnn10.两个重要极限的应用。a）limsin）1常用语含三角函数的型未定式1(ii
