高数闭区间上连续函数的性质教案

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1、第17、18课时:【教学目的】1、掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质;2、熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】1、介值性定理及其应用;2、零点定理及其应用。【教学难点】介值性定理及其应用§1.10闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值与最小值最大值与最小值:对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有x0ÎI,使得对于任一xÎI都有f(x)£f(x0)(f(x)³f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值).例如,函数f(x)=1+sinx在区间[0,2p]上有最大值2和最小值0.又如,函数f(x)

2、=sgnx在区间(-¥,+¥)内有最大值1和最小值-1.在开区间(0,+¥)内,sgnx的最大值和最小值都是1.但函数f(x)=x在开区间(a,b)内既无最大值又无最小值.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.定理1说明,如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么至少有一点x1Î[a,b],使f(x1)是f(x)在[a,b]上的最大值,又至少有一点x2Î[a,b],使f(x2)是f(x)在[a,b]上的最小值.注意:如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.例:在开区间(

3、a,b)考察函数y=x.又如,如图所示的函数在闭区间[0,2]上无最大值和最小值..定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.二、零点定理与介值定理零点:如果x0使f(x0)=0,则x0称为函数f(x)的零点.定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少有一点x使f(x)=0.定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点x,使得f(x)=C.定理4¢(介值

4、定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)¹f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点x,使得f(x)=C.证:设j(x)=f(x)-C,则j(x)在闭区间[a,b]上连续,且j(a)=A-C与j(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点x使得j(x)=0(a

5、2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根.证:函数f(x)=x3-4x2+1在闭区间[0,1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.根据零点定理,在(0,1)内至少有一点x,使得f(x)=0,即x3-4x2+1=0(0

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