海淀区2015高三数学(文)期末试题及答案

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1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参考2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）D（3）A（4）D（5）B（6）C（7）C（8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）（10）3（11）（12）（13）；4（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）的值是.………………2分的值是.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：.因为，所以.………………7分所以当，即时，取得最大值；………………10分当，即时，取得最小值.………………13分（16）（共13分

2、）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为.………………4分（Ⅱ）记3名男同学为，2名女同学为.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有，共10个.………………6分用表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则中的结果有6个，它们是：.………………8分所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.………………10分（Ⅲ）.………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）在菱形中，∥.因为平面，平面，所以平面.………………3分（Ⅱ）连接.在正方形中，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………5分因为平面，所以.………………6分在菱形中

3、，.因为平面，平面，，所以平面.………………8分因为平面，所以.………………10分（Ⅲ）四点不共面.理由如下：………………11分因为分别是的中点，所以∥.同理可证：∥.因为平面，平面，，平面，平面，所以平面∥平面.因为平面，所以平面，即四点不共面.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知椭圆的标准方程为：，则.所以椭圆的长轴长为.………………2分因为，所以，即的离心率为.………………4分（Ⅱ）若三点共线，由是线段的垂直平分线可得：.………………6分由（Ⅰ）可得，设.………………7分所以.①又因为，②………………10分由①②可得：（舍），或…………

4、……11分当时，直线的方程为，显然满足题意.所以存在直线使得三点共线，直线的方程为.………………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：.………………1分因为切线过原点，所以.………………3分解得：.………………4分（Ⅱ）证明：设，则.令，解得.………………6分在上变化时，的变化情况如下表-+↘↗所以当时，取得最小值.………………8分所以当时，，即.………………9分（Ⅲ）解：当时，集合的元素个数为0；当时，集合的元素个数为1；当时，集合的元素个数为2；当时，集合的元素个数为3.………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为，，所以，.因为，所以，即.………………

5、2分所以.所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.所以.………………4分（Ⅱ）若数列是等比数列，则.由（Ⅰ）可得：.………………6分解得：.当时，由得：.显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列.所以.………………7分（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知：.所以，即数列就是一个无穷等差数列.所以当时，可以得到满足题意的等差数列.当时，因为，，即，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.所以.下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为.设数列的公差为.①当时，.所以数列是各项均为正数的

6、递减数列.所以.因为，所以当时，，这与矛盾.②当时，令，解得：.所以当时，恒成立.所以数列必然是各项均为负数的递增数列.所以.因为，所以当时，，这与矛盾.综上所述，是唯一满足条件的的值.………………14分