2022版新高考数学人教版一轮练习：（47） 立体几何中的向量方法

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1、[练案47]第七讲　立体几何中的向量方法A组基础巩固一、单选题1．(2021·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　C　)A．±　　B．　　C．－　　D．±[解析]　＋λ＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.2．(2021·江苏镇江八校期中联考)已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1,1)，则二面角α－l－β的大小可能为(　C　)A．60°　　B．120°　　C．60°或120°

2、　　D．30°[解析]　设二面角α－l－β的平面角为θ，则

3、cosθ

4、＝＝，∴θ＝60°或120°.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为下底面ABCD和上底面A1B1C1D1的中心，则B1M与AN所成角的余弦值等于(　B　)A．－　　B．　　C．－　　D．[解析]　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.设AB＝2，B1M与AN所成角为θ，则A(2,0,0)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，N(1,1,2)，所以＝(－1,1,2)，＝(－1，－1

5、，－2)．故cos，＝＝＝－.因为两异面直线所成角的范围是(0，]，所以cosθ＝.故选B.4．(2020·河南林州期末)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1,AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　A　)A．　　B．C．　　D．[解析]　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0，0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，∴＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)．

6、设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝1，得n＝(2,1,3)．∴cos〈，n〉＝＝，∴DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为.5．(2021·安徽六校教育研究会联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为α，PQ与平面ABC所成的角为β，则α与β的大小关系为(　C　)A．α＝β　　B．α<βC．α>β　　D．不能确定6．(2021·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC－A1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则

7、点A到平面A1BC的距离为(　B　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　如图建立空间直角坐标系，则＝(0,0,1)，＝(，1，－1)，＝(0,2，－1)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则不妨取z＝2，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,2)，∴A到平面A1BC的距离d＝＝.故选B.注：本题也可用等体积法求解．设A到平面A1BC的距离为h，∵VA1－ABC＝VA－A1BC，∴＝，∴h＝.7．(2021·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8

8、，CD＝2，则该二面角的大小为(　C　)A．150°　　B．45°　　C．60°　　D．120°[解析]　由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋，∴

9、

10、2＝

11、

12、2＋

13、

14、2＋

15、

16、2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2，∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C．二、多选题8．(2020·甘肃兰州一中模拟改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是(　ABC　)A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为

17、45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°[解析]　取AB的中点H，连NH、MH，∵M，N分别为AC，A1B的中点，∴NH∥AA1，HM∥BC∥AD，∴平面MNH∥平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，A正确；又AB⊥NH，AB⊥MH，∴AB⊥平面MNH，∴AB⊥MN，B正确；∵NH⊥平面ABCD，∴∠NMH为MN与平面ABCD所成角，显然为45°，∴C正确；MN与DD1所成角为45°，D错误，故选ABC．9．(2020·山东济南期末)给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算；a×b.规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②

18、a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③

19、a×b

20、＝

21、a

22、

23、b

24、·sin〈a，b〉．如图2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是(　ACD