2021-2022学年高一必修一数学导学案2.2 基本不等式（第2课时 基本不等式的应用）（解析版）

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1、第2课时基本不等式的应用名师导学知识点1利用基本不等式证明不等式39/39学科网（北京）股份有限公司【例】已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.【证明】　因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，39/39学科网（北京）股份有限公司所以－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.39/39学科网（北京）股份有限公司上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8.39/39学科网（北京）股份有限公司当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．反思感悟　利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直

2、接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，39/39学科网（北京）股份有限公司解题时要时刻注意等号能否取到．　变式训练39/39学科网（北京）股份有限公司1．已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.证明：因为a，b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥2＝4，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立．39/39学科网（北京）股份有限公司所以(1＋

3、2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.即(1＋2a)(1＋b)≥9.2．已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.39/39学科网（北京）股份有限公司证明：因为a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，所以＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．知识点2基本不等式的实际应用【例】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费90

4、0元．求该厂多少天购买一次面粉，39/39学科网（北京）股份有限公司才能使平均每天支付的总费用最少？【解】　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)．39/39学科网（北京）股份有限公司设平均每天所支付的总费用为y元，则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋＋10809≥2＋10809＝10989(元)，39/39学科网（北京）股份有限公司当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．故该厂每10天购买一次面

5、粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．39/39学科网（北京）股份有限公司反思感悟　利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)上靠拢．　39/39学科网（北京）股份有限公司变式训练1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是____

6、____万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x39/39学科网（北京）股份有限公司＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5　82．用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，39/39学科网（北京）股份有限公司最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm、宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，39/39学科网（北京）股份有限公司矩形菜园的面积为xym2.由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，

7、等号成立．39/39学科网（北京）股份有限公司因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.知识点3利用基本不等式解决恒成立（有解）问题39/39学科网（北京）股份有限公司【例】若不等式9x＋≥a＋1(常数a＞0)对一切正实数x成立，求a的取值范围．【解】　常数a＞0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a＋1≤9x＋的最小值，39/39学科网（北京）股份有限公司又9x＋≥6a，当且仅当9x＝，即x＝时，等号成立．故必有6a≥a＋1，解得a≥.39/39学科网（北京）股份有限公司所以a的取值范围为a≥.

8、反思感悟　39/39学科网（北京）股份有限公司(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．39/39学科网（北京）股份有限公司变式训练已知不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(