第三章差分方程方法

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1、第三章差分方程方法3.1差分方程的平衡点及其稳定性设有未知序列，称(3.1)为阶差分方程。若有，满足则称是差分方程(3.1)的解，包含个任意常数的解称为(3.1)的通解，为已知时，称其为(3.1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(3.1)的特解。形如(3.2)的差分方程，称为阶线性差分方程。为已知系数，且。若差分方程(3.2)中的，则称差分方程(3.2)为阶齐次线性差分方程，否则称为阶非齐次线性差分方程。若有常数是差分方程(3.1)的解，即，则称是差分方程(3.1)的平衡点，又对差分方程(3.1)的任意由初始条件确定的解，都有，则称这个平衡点是稳定的。若已知，则

2、形如的差分方程的解可以在计算机上实现。下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。一阶常系数线性差分方程，(3.3)（其中为常数，且）的通解为(3.4)易知是方程(3.3)的平衡点，由(3.4)式知，当且仅当时，是稳定的平衡点。37二阶常系数线性差分方程，(3.5)其中为常数，当时，它有一特解；当，且时，它有一特解。不管是哪种情形，是方程(3.5)的平衡点。设方程(3.5)的特征方程的两个根分别为，，则①当，是两个不同实根时，方程(3.5)的通解为；②当是两个相同实根时，方程(3.5)的通解为；③当是一对共轭复根时，方程(3.5)的通解为易知，当且仅当特征方程的任一特征根时，平衡点是稳

3、定的。二阶方程的上述结果可以推广到阶线性方程，即阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根均满足：，即均在复平面上的单位圆内。下面讨论一阶非线性差分方程(3.6)的平衡点的稳定性。其平衡点由代数方程解出，为分析平衡点的稳定性，将方程(3.6)的右端在点作泰勒展开，只取一次项，(3.6)近似为(3.7)(3.7)是(3.6)的近似线性方程，也是(3.7)的平衡点。关于线性方程平衡点稳定的条件上面已给出，而当时，方程(3.6)与(3.7)平衡点的稳定性相同。于是得到，当时，对于非线性方程(3.6)，是稳定的；当时，对于方程(3.6)，是不稳定的。373.2市场经济中的蛛网模型在自由贸易的集

4、市上你注意过这样的现象吗？一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副业。过一段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业。这样下一个时期会重视供大于求、价格下降的局面，在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此循环下去。在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越低。而下一时段商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格越低生产的数量就越小。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡

5、太大就会影响人们群众的正常生活。现在我们用差分方程建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。记第时段商品数量为，价格为，。这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是一年，肉类则是1个饲养周期。图4-1需求函数和供应函数在时段商品的价格取决于数量，设。它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数。因为商品的数量越多价格越低，所以在图3-1中用一条下降曲线表示它，为需求曲线。在时段商品的数量由上一时段价格决定，用表示，它反映生产者的供应关系，称为供应函数。因为价格越高生产量才越大

6、，所以在图3-1中供应曲线是一条上升曲线。设图3-1中两条曲线和相交于点，在点附近取函数和的线性近似，即需求函数：，(3.8)供应函数：，(3.9)由式(3.8)，(3.9)消去得一阶线性差分方程，(3.10)因此是其平衡点，即是平衡点，对递推不难得到，37由此可得，平衡点稳定的条件是：；不稳定的条件是：。下面用图形解释此模型。若对某一个有，递推可得，当时，从而，即商品的数量和价格将永远保持在点。但是实际生活中的种种干扰使得，不可能停止在点上。不妨设偏离，我们分析随着的增加，的变化。图3-2稳定的图3-3不稳定的数量给定后，价格由曲线上的点决定，下一时段的数量由曲线上的点决定，这样得

7、到一系列的点，，，，…，在图3-2上这些点将按箭头所示方向趋向，表明是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。但是如果需求函数和供应函数由图3-3的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照，，，，…，的规律变化而远离，即是不稳定平衡点，市场经济趋向不稳定。由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。图3-2和图3-3中折线形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲