[数学]置换群ppt课件.ppt

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1、群论理论-----置换群对称性在无机化学中的应用分子的对称性与偶极矩1分子的对称性与旋光性27/28/2021若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩等于零，否则分子就有偶极矩，这种分子就是极性分子。偶极矩不仅有大小，而且有方向，是一个向量。1.分子的对称性与偶极矩凡是具有对称中心或具有对称元素公共交点的分子，偶极矩为零，分子无极性。例如：H2O和NH3分子有偶极矩，为极性分子；CO2的永久偶极矩为零；CCl4分子永久偶极矩为零。7/28/20212.分子的对称性与旋光性分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。如果二者能重合，则该分子没有旋光性；反之，分子

2、就有旋光性。称不具备任意次旋转－反映轴Sn的分子为不对称分子，所有不对称分子都具有旋光性。7/28/2021教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。7/28/20217/28/2021§12.2置换群7/28/2021§12.2置换群置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置换群的有关结论.置换群的共轭类1.置换的循环与对换分解介绍过置换的概念,n个符号的任意置换记为：7/28/2021§12.2置换群置换群的理论体

3、系虽然很庞大，但其结果却简单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置换群的有关结论.置换群的共轭类1.置换的循环与对换分解介绍过置换的概念,n个符号的任意置换记为：7/28/2021其中是1－n中的某一数字.(1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之积来表示，如其中(5)称为单循环，它代表5变为5.即5不变.(14)为二循环，它代表1变为4，而4又变为1.(236)为三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2.一般用记号7/28/2021代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的循环(即循环长度k=2)又称为对换

4、.显然，两没有公共数字的独立循环之间是相互对易的，如而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结果，如单循环往往省去不写，如(2)式可写成7/28/2021任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之积，如而一般情况下可以证明：7/28/2021当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易的，如由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相同数字的对换之积.因此，一个置换可分解为若干个含有相同数字的对换之积.由于一个循环分解为对换乘积的形式不是唯一的，如(3)式示,所以一个置换可分解为对换之积的形式不是唯一的.一个置

5、换若能分解为奇数个对换之积，则称为奇置换.反之,一个置换若能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换.一个置换可分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性7/28/2021却是唯一的.因为任一置换可分解为形式一定的循环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积,如.反之，若长度k为奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如.任一置换和它的逆具有相同的奇偶性.如显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与一个偶置换之积为奇置换.记所有偶置换的全体为，则的数目正好7/28/2021等于个.并且由于偶×偶=偶满足封闭,单位元(

6、恒等置换—零个对换)，另，故构成的一个子群，且是一个不变子群.因为对于任意的，有显然商群是二阶群,它有两个一维表示与,而任何一商群的表示也一定是其大群的表示，所以群一定有两个不等价的一维表示,其中一个是，即中的所有置换都对应于单位元1，此为恒等表示.另一个一维表示是,在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换7/28/2021都对应于－1.2.的共轭类现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类.设有两个置换与，它们都是的群元素，其中则的共轭元素为：7/28/2021这一结果表明，欲求置换的共轭置换，只需对置换中的上下两行数字同时施行置换,例如对的上下两行数字同时施

7、行置换得：若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求共轭元素的规则又可表述为：欲求置换的共轭置换,先将与写成独立的循环之积的形7/28/2021式，然后对的每个循环因子中的数字分别施行置换.如在上例中，我们有对中的每个数字分别施行置换得：与前面所得结果相同.由上面的讨论可见，与它的共轭元素有相同的循环结构.反之，有相同的循环结构的元素7/28/2021一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组成一个共轭类，为了确定群中共轭类的数目,人们引入了配分的概念:约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这样n可分解为一些不增加的整

8、数之和，称为n的一个配分