三角函数经典习题.doc

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1、 .三角函数经典练习题1.在直角三角形中,两锐角为A、B,则(B) A.有最大值和最小值0 B.有最大值,但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1,但无最小值 提示:,注意到角度的取值范围,所以选B.2.已知集合,,则是区间(A) A. B. C. D. 提示:即,所以选A.3.函数是(B) A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数 C.周期为2的偶函数D.周期为2的奇函数 提示:= ,所以选B.4.函数的图象的一条对称轴方程为(B) A. B. C. D. 提示:对应的的值应该使得函数取得最值,所以选B.5.函数的值域为(B) A. B. C. D. 提示:,再由得,所以选B.6.下列函数中以为周期的函数是(D) A. B. C. D. 提示:D中,且用定义可以检验得其余都不满足,所以选D.7.在直角坐标系中,曲线C的方程是,将曲线C沿向量平移,则平移后的曲线方程是(B) A。

2、. B. C. D. 提示:,,解出代入已知式化简得,所以选B.8.函数的最小正周期是(C) A. B. C. D. 提示:,所以选C.9.已知是第三象限的角,且,那么(A) A. B. C. D. 提示:在第一.二象限,∴,由,解得,取算术根即得,所以选A.10.使得成立,且的个数是(B) A.5 B.4 C.3 D.2 提示:函数的周期为,因此在4个周期长的区间里使的必有4个,所以选B.11.若是第三象限的角,且,则(D) A. B. C. D. 提示:,,代入求得,所以选D.12.当时,函数的(D) A.最大值是1,最小值是 B.最大值是1,最小值是 C.最大值是2,最小值是 D.最大值是2,最小值是 提示:,且,所以选D.13.函数的最小正周期是(B) A. B. C. D. 提示:用诱导公式.和.差角公式得,所以选B.14.已知点P()在第一象限,则在内的取值范围是(B) A B。

3、. C.D. 提示:,且在指定范围内,利用三角函数线分析,选B.15.若,则(B) A. B. C. D. 提示:即在内,所以选B.16.已知,那么下列命题成立的是(D) A.若是第一象限的角,则 B.若是第二象限的角,则 C.若是第三象限的角,则 D.若是第四象限的角,则 提示:当是第四象限的角时,由已知可设,,其中,由诱导公式和正切函数的单调性知,即,所以选D.17.函数的最大值是(B) A. B. C. D. 提示:,所以选B.18.设是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中不正确的是(D) A B. C. D. 提示:,∴, ,所以选D.19.振动量的周期.振幅依次是(A) A. B. C. D. 提示:由概念知振幅为3,由得周期,所以选A.20.若A.B是锐角△ABC的两个内角,则点P在(B) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 提示:,∴,∴,同理,所以。

4、选B.21.若,,,则(B) A. B. C. D. 提示:,,由正弦函数的单调性得,所以选B.22.下列命题中正确的命题是(D) A.若点P为角终边上的一点,则 B.同时满足的角有且只有一个 C.当时,的值恒正 D.满足条件的角的集合是Z} 提示:由,得,所以选D.23.若,则在(B)A.第一.二象限 B.第一.三象限 C.第一.四象限 D.第二.四象限 提示:与同号,所以选B.24.在△ABC中,若,则△ABC的形状一定是(C) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 提示:∵,∴,展开化简得,所以选C.25.设是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1 经长期观察,函数的图象可以近似地看成函。

5、数的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(A) A. B. C. D. 提示:当时,有,时,,这只有A适合,故选A.26.已知的值为(D) A. B. C. D. 提示:已知条件中的角度是欲求式中角度的2倍,能否整体利用已知条件进行变换是解题的一个思考点: =27.的值等于(B) A. B. C. D. 提示:即.28.下列等式正确的是(D) A. B. C. D. 提示:.29.若ΔABC内角满足,,则角A的取值范围是(C) A. B. C. D. 提示:已知,∴,又,综合得.30.函数是奇函数,则的一个值是(D) A. B. C. D. 提示:.xy01xy0131.函数的大致图像是(C)xy01xy01A. B. C. D. 提示:时,,时,.32.给出下列三角函数:①; ② ;③; ④;⑤;其中函数值为的是(C) A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①③⑤ 。

6、提示:根据诱导公式逐一检验得,或对于取一系列特殊值检验.33.若是第二象限角,是第三象限的角,则的值是(B) A. B. C. D. 提示:即,,求得,.34.设一个半径为10的水轮,水轮的圆心距水面为7,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离与时间(秒)之间满足函数关系,若,则其中的(A) A. B. C. D. 提示:A=10,转动的频率为(圈/秒),∴周期,而,故得.35.函数以2为最小正周期,且能在x=2时取最大值,则的一个值是(A) A. B. C. D. 提示:,且,∴,反代即得.36.函数是成立的(D) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 提示:注意角的取值范围变化.37.函数的最小值为(B) A.2 B.0 C. D. 提示:,∴,且.38.将函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度,再把图像上各点的横坐标扩大到原。

7、来的2倍(纵坐标不变),则所得到的解析式为(B) A. B. C.D. 提示:左移得,即,再将变为.39.函数的最小正周期是(A) A. B. C. D. 提示:,选A.40.已知则 _______. [答案] 提示:.41.设,若,则实数的取值范围是___________. [答案] 提示:对已知的第一式平方,变形得,且,而第二式即,∴,即,∴,或;综合得.42.函数的最小正周期为 __________. [答案] 提示:.43.关于三角函数的图像,有下列命题: ①与的图像关于y 轴对称; ②与的图像相同; ③ 与的图像关于y轴对称;④ 与的图像关于轴对称; 其中正确命题的序号是 ___________.[答案]②④ 提示:逐一作图判断.44.已知一扇形的中心角为,其所在的圆的半径为R.(1)若,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长为定值,当为多少弧度时,。

8、该扇形有最大的面积?这一最大面积是多少? [解析]计算弧长和扇形面积都存在有由角度和弧度制表示的两种公式,显然,用弧度表示的相应公式易于记忆、便于使用,其核心公式是周长公式和圆的面积公式,对于一般扇形,作相应的计算只需将两个核心公式中的换之以扇形的圆心角的弧度数即可: (1)设弧长为,弓形面积为,则∵,R=10,∴, ; (2)∵扇形周长,∴,∴, 由,得,∴当且仅当,即时,扇形取得最大面积.45.已知,求. [解答] =.46.已知函数的最大值为,最小值为,求函数的单调区间、最大值和最小正周期. [解答]由已知条件得解得∴,其最大值为2,最小正周期为, 在区间[]()上是增函数, 在区间[]()上是减函数.47.已知求的值. [解答]利用和角、差角公式展开,并借助分式的性质, 分子分母同除以可得 原式==.48.已知是方程的两个根. (1)证明对于任意实数,都有; (2)若,求实数的值.。

9、 [解答](1), , 即, , 即; (2)由(1)可得,∴, 即,∴,或.49.已知为常数) (1)若求的单调递增区间; (2)若时,最大值为4,求的值. [解答](1), 当, 即当为单调增函数, 同理,当; (2)当.50.如图扇形AOB的半径为1,中心角为,PQRS是扇形的内接矩形,问P在怎样位置时,矩形PQRS的面积最大?并求出这个最大值. [解答]设∠), 则, , 其中,所以当即时S有最大值.51.判定函数的奇偶性,并求函数的最值. [解析] 判断函数的奇偶性,先看定义域,然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的关系,为方便运算,常常根据题目本身的特点而转化,为考查是否为0,甚至也可考查与的比值,观察本题的特点是对数函数,不妨先考查,求最值时若注意到sin x的有界性以及函数的单调性,则最值易求: 函数的定义域为R,又+ 令 在[-1,1]上是增函数., .[点评]。

10、 (1)函数定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件;(2)要掌握利用函数单调性求函数最值的方法. 52.已知函数 (1)将表示为的多项式; (2)求曲线与至少有一个公共点的实数k的取值.(注. [解析] 这是一道带指令性的三角形问题,欲为关于的多项式,必须考虑去分母,这就需要在做出一定变换之后,能够约分,注意到有下列解法: (1) (2)令  =-1(舍),或则-1<<1,-3<k<1. [点评]第(1)问的求解方程不止上面给出的一种,还可以尝试通分后用和差化积变分子的方法去做;而第(2)问也可以由一元二次方程的实根分布理论来指导求解.53.如图,在矩形中,,,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线与地面所成角为,矩形周边上最高点离地面的距离为.求: (1)的取值范围; (2)的解析式; (3)的值域.ABDDBCAAAADBCDBCCCDB [解答](1)与地。

11、面所成的角,就是直线与平面所成的角的范围为. (2)连,则,过作地面的垂线,垂足为, 在中,,, . (3),,, 即的值域为.54.已知奇函数的定义域为实数集R,且在上是增函数.是否存在这样的实数,使对所有的均成立?若存在,求出适合条件的实数的值或范围;若不存在,说明理由. [解答]为奇函数,. , ,即. 在上是增函数,且为奇函数, 在上也为增函数. ,即, 即. . 令,则满足条件的应该使不等式对任意的均成立. 设, 则或或, 解之得,或, 故满足条件的存在,取值范围是.55.在ABC中,为角A,B,C所对的三条边. (1)求t=sinA+sinB时,t的取值范围; (2)化简(用(1)中t表示). [解答](1)为直角三角形,, 又, . (2) .56.等比数列中,,其中. (1)问:是数列的第几项?(2)若,求数列的前项和. [解答](1)设数列的公比是,则有所以, 从而通项.。

12、 又, 故是数列的第5项. (2),又,可得, 于是,即,.57.已知函数的图像上有一个最低点,如果图像上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,然后向左平移1个单位可得的图像,又知的所有正根依次为一个公差为3的等差数列,求的解析式,最小正周期和单调减区间.[解答](其中满足点同象限), 由于是图像上最低点,所以 所以, 将上述函数图像上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,然后向左平移1个单位可得. 由于的所有正根依次成等差数列,即曲线与直线的相邻交点间的距离都相等,根据三角函数的图像和性质,直线要么与曲线相切,即过的最高点或最低点,要么过曲线的拐点,又是图像上的最低点,故与曲线在最高点相切. 当时,,所以,此时周期应为公差3,这与上面已知周期6矛盾,故舍去. 若过曲线的拐点,当时,,此时周期6恰为公差3的2倍,符合题意.所以,由得, 即函数的减区间为.58.设函数,求函数的最大值和最小正。

13、周期. [解析]虽然本题并没有要求我们化简所给函数的解析式,但可以看出化简是解决问题的一条必由之路.同样我们也不能预测化简的具体结果,但总的目标应该是相对清楚的,那就是设法不断地“化繁为简”.从函数解析式的结构看,首先可以想到的方法是“降低解析式的次数,减少所含的三角函数的名数”. 原式 , 即最大值为,最小正周期为.59.证明:. [解析]观察欲证等式两边,可以考虑遵循从左到右的“化切为弦”的证明路线,也可以考虑运用从右到左的“化倍角关系为单角关系”的证明思路. 方法一:左边 右边; 方法二:右边 左边.60.已知函数,求该函数的定义域、最小正周期和最大、最小值. [解答] , 由和有意义知且,即函数的定义域为 ,且的最小正周期是,最大值是,最小值是.61.设,,已知函数的最小值和最大值分别是和0,求实数的值. [解析]这是一道三角函数最值问题的逆问题,可以按照求函数最值的思路求解,用表。

14、示出所求函数的最大值和最小值后,对照已知条件建立方程组求解. , 令,则,且,有, 10当,即时, ,,此时解得,; 20当,即时, ,,此时的解应该舍去; ∴,即为所求.D CE A B62题图62.有一农民在自留地里建造了一个长10m,深0.5m,横截面为等腰梯形的封闭式引水槽(如图所示).已知该引水槽侧面材料每m2造价40元,底面材料每m2造价50元,顶盖材料每m2造价10元. (1)把建造引水槽的费用(元)表示为引水槽的侧面与地面所成角∠DAE的函数; (2)引水槽的侧面与地面所成的角为多大时,其材料费最低?最低的材料费是多少(精确到0.01,且取)? (3)按照题设条件,在引水槽的深度和横截面积及所用的材料不改变的情况下,将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与(2)中所求得的材料费相比较,哪一种设计所用的材料费更省?省多少? [解析]利用角逐一表示出引水槽的底、侧、盖的面积。

15、,再乘以相应的单位费用数即能得到总费用. (1)作AH⊥CD于H,则AH,且∠ADH, 设AB,由AD=BC=,DH, ∴,即, ∴ , 即所求函数为; (2)令,则, ∴,由正弦函数的有界性得, ∴,故,从而, 此时,由, 知∠EAD=时,所用材料费最低,最低费用为元; (3)若截面为正方形时,材料费元, 两相比较知横截面为等腰梯形时所用材料费比横截面为正方形时所用的材料费要省53.6元.63.如图,ABCD是一块边长为100m正方形地皮,其中ATPS是一半径为90m的扇形小山,P是弧TS上的一点,其余部分都是平地.现有一开发商想有平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场的面积的最大值和最小值. [解答]连结AP,设∠PAB=,,延长RP交AB于M, 则AM,MP,PQ=MB=AB-AM,PR=MR-MP,故矩形面积, 令,由,故得, ∴当时,, 而当时,. Word 文档。

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