高等代数北大版第四章矩阵知识点总结.docx

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1、第四章矩阵（***）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。二、考点精讲：（一）基本概念及其运算1.基本概念矩阵—形如称为行列的矩阵，记为，行数与列

2、数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为。（2）对，若，称为阶方阵。（3）称为单位矩阵。（4）对称矩阵—设，若，称为对称矩阵。（5）转置矩阵—设，记，称为矩阵的转置矩阵。（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。（7）伴随矩阵—设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称

3、为矩阵的伴随矩阵。2.矩阵的三则运算（1）矩阵加减法—设，，则。（2）数与矩阵的乘法—设，则。（3）矩阵与矩阵的乘法：设，，则，其中（）。【注解】（1）推不出。（2）。（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若，则，再如（一）矩阵的逆矩阵与矩阵的秩1.逆矩阵（1）定义逆矩阵的定义—设为阶矩阵，若存在，使得，称可逆，称为的逆矩阵，记为。（2）逆矩阵存在的充分必要条件设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。（3）逆矩阵的求法①伴随矩阵法。②初等变换法。（4）逆矩阵的性质①。（2）。②，更进一步。③。④，。2.矩阵的秩（1）定义设是矩阵

4、，中任取行和列且元素按原有次序所成的阶行列式，称为的阶子式，若中至少有一个阶子式不等于零，而所有阶子式（如果有）皆为零，称为矩阵的秩，记为。（2）求法将用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵的秩。（3）矩阵秩的性质①。②。③，等价于。④设，且，则。⑤设为可逆矩阵，则。⑥。⑦。⑧存在非零向量，使得。三、首师大真题：