高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析.docx

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1、§1.3　充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1　推出与充分条件、必要条件学习目标　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一　充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称

2、p是q的必要不充分条件．知识点二　充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x

3、p(x)成立}，q：B＝{x

4、q(x)成立}．1．若p是q

5、的充分条件，则p是唯一的．(　×　)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(　√　)3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(　√　)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　√　)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)题型一　充分、必要、充要条件的判断例1　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四

6、边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点　充要条件的概念及判断题点　充要条件的判断解　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟　充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③

7、尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1　下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.考点　充要条件的概念及判断题点　充要条件的判断解　(

8、1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵f(x)＝x⇒f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，但f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f(x)＝x，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件．题型二　充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1　由充分条件、必要条件求参数范围例2　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点　充

9、分、必要条件的综合应用题点　由充分、必要条件求参数的范围解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x

10、1－m≤x≤1＋m}{x

11、－2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m

12、00)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB

13、.所以或解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤