高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章三角函数的概念教-案.docx

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1、《5.2.1三角函数的概念（第一课时）》教学设计教学目标1．了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；2．经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义．教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解；对符号sina，cosa和tana的认识．课前准备PPT课件教学过程（一）创设情境图1引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．

2、如图1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：如图1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？预设的师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流、讨论．预设答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．设计意图：明确研究的内容、过程和基本

3、方法，为具体研究指明方向．（二）新知探究图2引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．问题2：当α=时，点P的坐标是什么？当α=或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？预设的师生活动：在学生求出α=时点P的坐标后追问以下问题．追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（2）求点P

4、的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？（3）如何利用上述经验求α=时点P的坐标？（4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？预设答案：（1）直角三角形的性质；（2）画出的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在Rt△OMP中，利用直角三角形的性质可得点P的坐标是；（3）可以发现，∠MOP=，而点P在第二象限，可得点P的坐标是；（4）对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：f：实数a

5、（弧度）对应于点P的纵坐标y，g：实数a（弧度）对应于点P的横坐标x．根据上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是从集合R到集合[－1，1]的函数．设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．问题3：请同学们先阅读教科书第178～179页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号sina，cosa和tana分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量

6、的经历吗？（3）为什么说当a≠＋kπ时，tana的值是唯一确定的？（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是{x∈R

7、x≠＋kπ，k∈Z}？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：（1）正弦函数的对应关系：sina→点P的纵坐标y；余弦函数的对应关系：cosa→点P的横坐标x；正弦函数的对应关系：tana→（2）分别表示y，x，；引入符号logab表示ax=b中的x．（3）当a≠＋kπ时，如果α确定，那么a的终边确定，终边与单位圆的交点P确定，P点的横、纵坐标x、y就会唯一确定，因此的值也是唯一确定的，所

8、以tana的值也是唯一确定的．（4）当a＝＋kπ时，a的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以＝tana无意义．除此之外，对于任意角a，P点的横、纵坐标的值x，y都是存在且唯一确定的．设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号logab表示ax=b中的x），理解三角函数符号的意义．问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设x∈，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z

9、1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？预设的师生活动：教师引导，学生作图并得出结论．预设答