图形变换01-一般变换.ppt

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1、第6章图形变换之一——一般变换1.图形变换的基本描述2.图形变换的几何化表示3.投影与投影变换6.透视变换5.投射变换6.总结6.1图形变换的基本描述1.概述2.齐次坐标3.齐次坐标变换距阵4.矩阵级联5.图形变换的现状6.1.1概述一个图示系统需要运用各种图形变换。例如可以放大一个图形以便使某一部分能更清楚地显示，缩小图形以便看到图形更多的部分。在几何造型中，可用图形变换改变物体间的相对位置，可用透视变换和投影变换产生同一三维景物在各种不同视点位置和视线方向下的不同影像，在视点改变非常快或物体相对运动的应用场合，变换必须反复运用。因此，找到一个有效的方法去实

2、现图形变换是十分必要的。6.1.1概述所有的变换均基于点的变换。例如，一条线段的变换只要考虑它的两个端点的变换就行了采用向量、矩阵和齐次坐标的形式来描述图形的变换十分方便。一个变换是一个单一的数学实体，能够用一个单一的名或符号标识。两个变换能够被结合而产生一个具有二者功效的单一变换。例如变换T是平移，而变换R是旋转，则变换的结合允许决定一个变换A=TR，其功效是先平移然后旋转变换。为了能用矩阵的形式统一描述图形变换，在计算机图形学中常采用齐次坐标的形式来描述空间的点。在n维空间中的一个问题，在n+1维空间中相应地也有一个问题，而在n+1维空间中却常常比n维空间

3、中较易获得结果。二维点(x,y)的齐次表示是(hx,hy,h)，这里h是任何一个非零因子，有时叫做比例因子。齐次点(a,b,c)被投射回复到二维时简单地就是(a/c,b/c),由比例因子c去除。6.1.2齐次坐标在计算机中处理一个三维空间的“无穷远点”是困难的，但是可以容易地处理一个四维齐次空间的解析点，例如可以用向量：（1000）表示x轴方向无穷远点（0100）表示y轴方向无穷远点（0010）表示z轴方向无穷远点（0001）表示坐标原点这4个向量将构成四维齐次空间的单位矩阵6.1.2齐次坐标6.1.3齐次坐标变换距阵透视变换比例变换旋转、错切等平移变换齐次变

4、换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式，使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。6.1.4矩阵级联一个变换是一个单一的数学实体——矩阵描述和标识。两个变换的结合用矩阵的级联而产生一个具有两者功效的单一变换。例如变换T是平移，而变换R是旋转，则变换的结合允许决定一个变换A=TR，其功效是先平移然后旋转变换。6.1.5图形变换的现状6.2图形变换的几何化表示1.几何化表示的基本理论2.图形变换的几何表示3.图形变换几何表示的实施4.图形变换几何表示的应用5.图形变换几何表示与基本几何6.2.1基本理论——仿射变换

5、仿射变换（Affinetransformation），一种线性变换“线性”(linearity)。线性是仿射变换下的不變性（直线变换后还是直线）。“关联性(incidence)是不变性)。（共线三点間的距離的分比不变，共线三点間距離的分比是不变量，平行线还是平行线）。仿射变换可以通过一系列原子变换的复合来实现：平移（Translation）、缩放（Scale）翻转（Flip）、旋转（Rotation）剪切（Shear）等。6.2.1基本理论——仿射变换仿射变换（二维线性变换）的最一般形式为：u=a1x+b1y+c1v=a2x+b2y+c2令u=0和v=0即可得

6、到两条直线L1：a1x+b1y+c1=0L2：a2x+b2y+c2=06.2.1基本理论——基本几何直线（直线段/向量）由其规范化的标准式方程：ax+by+c=0定义，其中a2+b2=1直线的方向选取这样一个方向：当人沿着这个方向行走时，他的左手方向为负区域(内部)，右手方向为正区域(外部)。6.2.2图形变换的几何化表示由于平面上任两条相交有向直线均可构成新的坐标系统UV，这样u=a1x+b1y+c1v=a2x+b2y+c2又可视为将坐标轴UV上的点全部相应地变换到坐标轴X和Y上6.2.2图形变换的几何化表示这两个坐标系间的坐标变换公式可由直线方程系数构成的

7、齐次变换矩阵形式表出：于是，可将直线L1设为V轴直线L2设为U轴构成新的坐标系。6.2.2图形变换的几何化表示——三维若将上述结果推广到三维形式，则有：x*=a1x+b1y+c1z+d1y*=a2x+b2y+c2z+d2z*=a3x+b3y+c3z+d3它将在原坐标系下的三个平面：P1：a1x+b1y+c1z+d1=0P2：a2x+b2y+c2z+d2=0P3：a3x+b3y+c3z+d3=0变换到原坐标系所在的3个平面上。这3个平面构成的新坐标系。6.2.2图形变换的几何化表示——三维矩阵形式为：当且仅当：a1a2+b1b2+c1c2=0a1a3+b1b3+

8、c1c3=0a2a3+b2b3+c2c