复变函数教案-第三章-复变函数的积分.doc

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1、复变函数的积分学时安排：6学时教学要求：使学生掌握复变函数积分定义，会灵活运用柯西积分公式计算相关积分，以及会利用解析函数性质求函数的共轭调和函数。教学内容：复变函数积分定义，积分计算公式，柯西积分公式，高阶导数，以及解析函数和调和函数关系教学重点：柯西积分公式以及解析函数和调和函数的关系教学难点：柯西积分公式教学手段：课堂讲授教学过程：第三章复变函数的积分§1、复变函数积分的概念1，有向曲线：设为平面上给定的一条光滑（或者按段光滑）曲线，如果选定的两个可能方向中的一个作为正方向（或者正向），那么我们把理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。2，积分：设函数定义在区域内，为在区

2、域内起点为终点为的一条光滑的有向曲线。把曲线任意分成个弧段，设分点为，在每个弧段上任意取一点，并作和式这里。记的长度，。当无限增加，且趋于零时，如果不论对的分法及的取法如何，有唯一极限，那么称这极限值为函数沿曲线的积分。记作。注意：1）如果曲线为闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记作。2）当曲线是轴上的区间，而时，这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。3，积分存在的条件及其计算法：1）积分存在的条件：(a)当是连续函数而C是光滑曲线时，积分是一定存在的；(b)可以通过两个实变函数的线积分来计算。分析：设光滑曲线C由参数方程：给出，正方向为参数增加的方向，参数对应于起点A及终点

3、B，且。如果在D内处处连续，那么及均为D内的连续函数，设，由于所以由于都是连续函数，根据线积分的存在定理，我们知道：当无限增大而弧段长度的最大值趋于零时，不论对C的分法如何，点的取法如何，上式右端的两个和式的极限都是存在的，因此注意：2）积分的计算：计算公式：设光滑曲线C由参数方程：给出，正方向为参数增加的方向，参数对应于起点A及终点B，且。则注意：(a)如果曲线C是由等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么(b)对极坐标形式，一样可以推广。应用举例：例1，计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段。例2，计算，其中C为以为中心，为半径的正向圆周，为正整数。例3，计

4、算，其中C为（1）沿从原点到点=1+i的直线段；（练习：）（2）沿从原点到点=1的直线段，与从到的直线段所接成的折线。4，积分的性质1）=；2）=；（为常数）3）=；4）设曲线C的长度为L，函数在C上满足，那么。例4，设C为从原点到点=3+4i的直线段，试求积分绝对值的一个上界。§2、Cauchy-Goursat基本定理1，假设在区域B内处处解析，且在区域B内连续。由于，所以及以及它们的偏导数均为B内的连续函数，且又因为其中C为B内任何一条简单闭曲线，从格林公式与CAUCHY-RIEMANN方程（路线C为正向）得其中D是C围成的区域，所以2，Cauchy-Goursat基本

5、定理（CAUCHY积分定理）假设在单连通域B内处处解析，那么函数沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零：注意：（1）定理中的C可以不是简单曲线。（2）如果曲线C是区域B的边界，函数在B内与C上解析，仍然成立。（3）如果曲线C是区域B的边界，函数在B内解析，在闭区域上连续，仍然成立。§3、基本定理的推广---------复合闭路定理1，假设为D内任意两条（正方向为逆时针方向）简单闭曲线，在C的内部，而且以为边界的区域全含于D，那么我们有。如果我们把如上两条简单闭曲线看成一个复合闭路，那么。从上面的讨论，我们得到：闭路变形原理：在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域

6、内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点。2，复合闭路定理：设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，为C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D。如果在D内解析，那么1）。其中取正方向；2）。其中为由C及所组成的复合闭路（方向为C按逆时针进行，按顺时针方向进行）。应用举例：例计算的值，为包含圆周在内的任何一条正向简单闭曲线。§4、原函数与不定积分1，定理一：如果函数在单连通域B内处处解析，那么积分与连结起点及终点的路线C无关。（根据：Cauchy-Goursat基本定理）2，定理二：如果函数在单连通域B内处处解析，那么函数必

7、为B内的一个解析函数，并且。这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似。3，原函数定义：如果函数在B内的导数等于，即，那么称为在区域B内的原函数。注意：的任何两个原函数相差一个常数。利用这一性质，可以推导跟牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数的积分计算公式。4，定理三：如果函数在单连通域B内处处解析，为的一个原函数，那么这里为区域B内的两点。应用举例：例1求积分的值。例2试沿区域内的圆弧，计算积分的值。§5、柯西积分公式1，定理（柯西积分公式）：如果在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内