奥数-分式恒等变形师.docx

《奥数-分式恒等变形师.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。例1.若，，且，求的值。（1/8）例2.若，，求的值。（3）例3.求证：例4.设正数x，y，z满足不等式++>1,求证x，y，z是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x，y，z全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x，y，z是某个三角形的

2、三边长例5.求分式，当时的值．【解析】先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．　　　　原式例6.若实数a，b，c满足，求证：.【证明】：由已知得到，有，则a，b，c中一定有两个数互为相反数。例1.化简:．【解析】原式　　　　　　　　　　　　　　　　　　例2.计算：．【解析】设+．　解之得　∴．同理：，．∴原式+++．用因式分解再通分法比较好补充：化简分式：例3.化简．【解析】按照分式混合运算法则进行化简：　　　　　　　　　　　　　　　　．例4.化简：【解析】原式例1.已知，求证例2.已知，求的值【解答】

3、：由；可得；答案为1；例3.已知，，求代数式的值。（）方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分例4.已知分式（1）在什么条件下此分式有意义?（2）在什么条件下分式的值为正、为负？（此问要解一元二次不等式，超纲）（3）分式的值能否为0？【分析与解答】：(1)x,y的绝对值都不是1（2）原式=(1+x)(1-x)/(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)=1/(1-y^2)所以当y的绝对值小于1且x的绝对值不等于1时，分式为正当y的绝对值大于1且x的绝对值不等于1时，分式为负。（3）不能例5.化简：【解析】原式例6.化简：【解析】原式例1.化简：【解析】原

4、式　　　　　　补充：化简．【解析】按照分式混合运算法则进行化简：补充：化简：【解析】原式例2.化简：.（a+b+c）方法三、倒数法例1.若，则=___________．【解析】解析：由，故．例2.⑴已知，则=_________.⑵若，则=_________.⑶若，则=__________．【解析】⑴本小题是一个简单题，也是这类题的一个最基本、最原始的模型！，．⑵本题在例题的基础上，对已知条件稍作变形，待求式也稍作变形．⑶本题在上个例题的已知条件上稍作变形，实质是一样的！．．点评：倒数法是指利用已知条件中隐含的倒数关系，或者对已知条件、待求式作倒数变形，

5、以便快速、准确地求解问题的一种方法，对于本题而言，已知条件中存在(或隐含)倒数关系，这类题目比较简单．补充：⑴已知，求分式的值．⑵如果，那么的值是_________．【解析】⑴（∵）　．　　　　⑵由，　　　　　故．例1.若，则________．【解析】由，故原式．例2.设，则的值是（　　）A.1B.C.D.【解析】由可知，．原式．例3.己知，求的值。补充：已知，求的值例4.设，求的值.【解】：两边同除以,因式分解得到；答案为2或－3；例5.已知，，，且，求x的值。例1.已知，求下列的值方法四、等比定理、设k法例2.已知：，求k；例3.如果，求的值。例4

6、.若，则的值是_______或________.【解答】：0或－2；例5.若，且，求的值。（8或-1）例6.若，且，求的值；【分析】等比性质；x=y=z或x+y+z=0；原式=8或-1例7.已知，求证。补充：已知，且，求的值。(9)例8.已知，且，求.(0)例9.已知，且，求证或。例10.已知，求的值。（1）方法五、巧变“1”例1.若，求证：．【解析】解法1：因为，故，，．　　　　则　　　　　　　　，　　　　注意到，故上式．　　　　解法2：因为，故，，.则．解法3：由可得，则．点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思

7、想是一样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“”在其中的使用，更是值得细细品味.当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题——过于烦琐，有兴趣的学生可以尝试一下这种思路．例2.已知，求证：．【解析】，即，故，则，故．等式两边同时除以，可得，进而，则，故，从而．故，展开并化简，可得，即，从而．故．点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关键，就是拆分部分分式的时候，我们从左边的式子里面提出两个，从而让整个式子得到简化．补充：若，求证：．例1.若，解关于x的方程．例2.已知，求的值。答案：1例3.设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，求

8、证。（结合均值不等式）方法六、换元法例4.化简分式：【解析】原式中只出现了和的形式，而且，因此