对数函数题型归纳大全非常完整.docx

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1、对数与对数函数题型归纳总结知识梳理1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．利用换底公式推导下面的结论①．推广．②，特例：(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②l

2、oga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．函数，且叫做对数函数，是自量，函数定义域是．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：，且．4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.结论2.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.5.反函数指数函数y

3、＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．例题分析题型一对数的运算例题1：（1）计算：÷100－＝_____；(2)计算：＝___解析：(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝＝＝＝＝＝1.例题1：设x、y、z为正数，且，则x、y、z之间的关系式为.解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以.变式1：（1）若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)

4、成等差数列，则x的值等于(2)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝___，b＝____解析：(1)由题意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23.(2)设logba＝t，则t>1，因为t＋＝，∴t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，∴b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，得b＝2，a＝4.变式1：已知．若，，则______，____分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指

5、数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的解析：设，所以，解得，所以，于是由，得，所以，解得．题型一对数函数的定义域例题1：函数的定义域为__________．解析：要使有意义，则，即，即，即，即函数的定义域为．变式2：函数的定义域为（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要

6、求非负；（3）对数式的真数要求为正数．解析：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解得，即函数的定义域为，故应选．题型一对数函数的值域例题1：求下列函数的值域：（1）；（2）．解析：（1）∵∴∴，函数的定义域为∵函数的值域为．（2）∵∴或所以函数的定义域为因为，即能取遍一切正实数，所以所以函数的值域为．题型二对数函数的奇偶性例题2：若函数为奇函数，当时，，则（）A．B．C．0D．1解析：，选C．变式1：若函数为奇函数，则实数_______．解析：题型一对数函数的对称性例题1：若满足，满足，

7、则解析：，，即，，作出，，的图象（如图）．由图知与的图象关于对称，它们与的交点、的中点为与的交点，，∴题型二对数函数的单调性例题2：求函数的递减区间．解析：先求函数的定义域，由，得，或．令，，∵对数的底数，∴函数减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数（，或）的递增区间即可．∵，∴函数（，或）的递增区间，所以函数的递减区间为．变式1：函数（）的单调递增区间是（）A．B．C．D．分析：复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)

8、与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．解析：由函数得，得或，根据题意，设，则，图象开口向上，因函数为单调增函数，由得：也是增函数，又因在上是增函数，故的取值范围是，故选D．变式1：已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令，则有函数在区间上是减函数，可得函数在区间上是增函