对数与对数函数知识点及题型归纳总结.doc

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1、对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念，叫做以为底的对数.注：①，负数和零没有对数；②；③.二、对数的运算性质特殊地化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.三、对数函数（1）一般地，形如的函数叫对数函数.（2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示.图像性质（1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是增函数（1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是减函数题型归纳及思路提示题型1对数运算及对数方程、对数不等式思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形

2、用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.一、对数运算例2.56（）分析解析故选.评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提.变式1已知为正实数，则（）变式2________..变式3________..例2.57________..解析所以原式变式1________..例2.58________..分析解析则所以二、对数方程例2.59解下列方程：分析利用对数的运算性质化简后求解.解析（1），首先方程中的应满足

3、，原方程可变形为，即，得，从而或（舍），经检验，是原方程的解.（2），，解得.经检验是方程的解.评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.变式1函数（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的零点.三、对数不等式例2.60设，函数，则使的的取值范围是（）分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.解析，又，函数在上单调递减，得，因为，故，又，所以故选变式1已知函数为上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为.例2

4、.61设则（）分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点.解析因为在上单调递增，所以故选.变式1设，则（）变式2设，则（）变式4（2012大纲全国理9）已知，则（）题型2对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.一、对数函数的图像例2.62如图2-15所示，曲线是底数分别为的对数函数的图像，则曲线对应的底数的取值依次为（）分析给出曲线的图像，判定所

5、对应的的值，可令求解.解析如图2-16所示，作直线交于，其横坐标大小为，那么所对应的底数的值可能一次为.故选.评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则.在第一象限的图像，越大，图像越靠近轴；越小，图像越靠近轴.变式1若函数是定义域为的增函数，则函数的图像大致是（）变式2设均为正数，且，则（）例2.63函数的图像必过定点.分析对数函数的图像过定点，即.解析因为恒过点，故令时，，故恒过顶点.变式1函数的图像过定点.二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））例2.

6、64设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（）分析本题考查对数函数的单调性和最值.解析因为对数函数的底，所以函数在区间上单调递增，故，即解得故选.变式1若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则等于（）例2.65设的最大值和最小值.解析解得.又.令，则当时，变式1已知，求函数的最大值与最小值.例2.66若函数，且则实数的取值范围是.解析依题意，函数的图像如图2-17所示，知为奇函数，由的得，解得.变式1已知函数，若，且，则的取值范围是（）变式2定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长

7、度的最大值与最小值的差为.题型3对数函数中的恒成立问题思路提示（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.例2.67已知函数，若时有意义，求得取值范围.解析因为在上有意义，即在上恒成立.所以在上恒成立.令.因为与在上为减函数，故在上为增函数，所以对任意的时，.因为在上恒成立，所以.所以的取值范围是.评注为了求的取值范围，把进行了分离，若存在最大值，则恒成立等价于；若不存在最大值，设其值域为，则恒成立等价于.变式1当时，不等式恒成立

8、，则的取值范围是（）变式2函数，当点是函数图像上的点时，点是函数图像上的点.（1）写出函数的解析式；（2）当时，恒有，试确定的取值范围.最有效训练题1.设，则（）2.设函数，若，则的取值范围是（）3.设定义在区间上的函数是奇函数，则的取值范围是（）4.已知在上是的减函数，则的取值范围是（）5.已知，则函数与函数的图像可能是（）6.已知函数是上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数是（）7.设函数，若，则的取值范围是________.8.已知，则________.9.若