实变函数教案.docx

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1、《实变函数教案》总48学时实变函数诞生于上世纪初.(法)Lebesgue创立Lebesgue积分.Riemann积分的对象是连续函数;Lebesgue积分的对象是可测函数,其应用广泛.测度积分形成后,建立了泛函分析理论.它是现代数学的一门重要课程,应用广泛.第一章 集 合§1.1,1.2集合表示及运算1.集合概念集合:具有某种共性的事物的全体,记为.空集:;全集:X.元素:.如:;      B={一个班级全体学生}.2.包含与相等是指:; 称A是B的子集.是指:.若,称A为B的一个真子集.关系满足

2、:(1);(2);(3).3.集合的运算并集; 交集; 若,称A与B不相交;差集;  余集.(画图示.)集合运算性质:(1)交换律:;(2)结合律:;(3)分配律:;(4)对偶律:.4.集族集族:X为集合,集合A的元素都是X的子集,称A为X的一个集族.:A中所有元素的并;    :A中所有元素的交.幂集:, X的全体子集构成的集族.指标集,,有集族.并:;   交:.如,得到集列;,.简记.5.集合序列的极限定义1.1.1.为一集列,.上限集:;下限集:.关系:.若,称收敛.例1.令,则.收敛.例2

3、.令,则,.故发散.定理1.1.1.为一集列,则(1)有无穷多个含有x;(2).定义1.1.2.(单调集列)单增集列:↗;  单减集列:↘.结论:(1)若↗,则;    (2)若↘,则.证:(1);.6.集族的直积A与B的直积集;的直积集.§1.3,对等于基数1.映射(对应)概念映射f:.  x――原象,y――象,X――定义域.满射:; 单射:;一一映射:满射+单射.恒等映射,(一一映射).若,称f为X上的实(或复)函数.逆映射:为一一映射,定义.设,记(象); (原象).定理1.设,和分别是X上和

4、Y上的集族,则,;,(*).(*)证:记,.,.反之,即.特征函数(示性函数):.性质:设,(),则(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)收敛收敛;此时有.2.集合的对等、势对等:存在一一映射,称A与B对等,记作或.――集合A的势(基数).关系“~”性质:(i)反身性:;(ii)对称性:;(iii)传递性:,.3.势的比较若A与B的一个子集对等,记; 若A与B的一个子集对等,但A与B不对等,记.定理1.2.2.对于集合A,有.证:若,结论成立.若,则A与中由A的单点集构成的子

5、集对等,故.下用反证法.假设,则存在一一映射.令.则,唯一的,使.矛盾.故.Banach引理.设,.则满足.其中.  (证略)定理1.2.3.(1)对于集合A,成立;    (2)若, ;(3)若,  (Berstein定理).证(3):由条件,存在单射及单射.由引理,.注意到,均为一一映射, 可令为. 是一一映射, 得.§1.3;1.5可数集与不可数集  对于集合A,,规定;,.以上称A为有限集.若,称A为可数集(可列集),(元素互异),记.不是可数集的无限集称为不可数集.定理1.3.1.每一无限

6、集必含有一个可数子集.证:设A为无限集.取.由于,可取.由于,可取.续下去,便得A的可数子集.推论.可数集的任一子集至多是可数集.证:设为无限子集,则.由Th1.3.1,. 故.定理1.3.2.设为有限集或可数集),若,则至多为可数集;又,使,则是可数集. (可列个可数集之并是可数集).证:若,结论显然成立.只需证明当,且时结论成立.记,,,,.按对角线法则,有. 它是可数集.定理1.3.3.若,且存在,则是可数集.(有限个可数集的乘积集是可数集).证:只需证明当时结论成立.利用数学归纳法.当时,结

7、论成立. 假设时,结论成立. 取定,记,.则,由假定为可数集,故为可数集.例1.有理数集Q是可数集.证:只需证明正有理数集是可数集. 一方面,;另一方面,.而,. 同理,.例2.实数集R是不可数集.证:只需证明闭区间是不可数集.用反证法及闭区间套定理.假设是可数集.可将三等分,分点为c,d.区间与中至少有一个区间不含,将它记为;对重复上述对的讨论,可得不含的子区间;如此以往,得闭区间列,满足:(a); (b); (c)不含中点.由闭区间套定理,唯一.故.而由(3)知,.矛盾.由于是的一一映射,记.(

8、连续统的势)记S为无理数集,,.定理1.3.4.若,则.证:只需证明:当时;而当时.若,则,. 而(采用二进制小数表示).于是.若,则,. 每个可用二进制无穷小数表示为,,,.,.利用对角线法则,作映射为.显然,f是单射,于是.推论1.若,,且存在,,则.推论2.若,,,,则.简证:. (其余略)例3.可列集的子集全体的势为,即.证:记可列集,构造A的幂集到二进制小数全体的映射f.,即,定义,其中.映射是一一映射..第二章 点集§2.1.度量空间,n维欧氏空间定义2.

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