小学五年级奥数-整除问题.docx

《小学五年级奥数-整除问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、五年级思维第二讲基础知识：1.整除的定义、性质.定义：如果a、b、c是整数并且，则称a能被b整除或者b能整除a，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做.性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.2.被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾

2、.3.被3，9整除特征：数字和被3,9整除.4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5.被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除.（“奇偶位差法”）.6.被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除.7.整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.例题：例1、如果六位数能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为2012ab，105=3×5×7，依次考虑被3,5,7整除得到3a+b-1

3、，b=0或5,7(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b=5.故后两位为85.例2、求所有的x，y满足32x5y使得7232x5y.解：72=8×9，根据整除9性质易得x+y=8或17，根据整除4的性质y=2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费元，其中处字迹已经模糊不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个处的数字分别是a、b，则有143a679b，根据11a679b，有a+b=8，再根据13a679b，所以13(100a+67-

4、90-b)，再根据a+b=8得到13（10a-5）解得a=7b=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除

5、.解：，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数符合题目要求.因此唯一符合题目要求的数是.例6、要使六位数10abc6能够被63整除，那么商最小是多少？解：.考虑10abc6能被7整除，于是有7(100b+10c+6-100-a)，整理得7(2b+3c-a+4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c=2或11或20.由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a=0.此时，易验证b=0,b=1无解，而在b=2时，有解c=

6、9，所以最小的被除数是，最小的商是1592.例7、所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，，，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和.在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3，1+3=2+2，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+

7、3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例9、已知4ab4ab…4ab（重复99次）能够被91整除，求ab.解：根据7和13的整除判断方法7（13）4ab4ab…4ab（重复99次）有7（13）4ab4ab…4ab000（重复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）4ab4ab…4ab（重复98次），以此类推，就有7（13）4ab，得到4ab=455，所以ab=55.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位

8、都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？解：因为连续11个数是343的倍数，而，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的