大学数学竞赛习题与答案ppt课件.ppt

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1、极限与连续性1234567891011一、数列与函数极限的存在准则(1)夹逼准则;(2)单调有界收敛准则分析给定数列的奇数项子列单调增加有上界,偶数项子列单调减少有下界,因此两子列均收敛.对于这种数列仍可应用单调有界准则.1112解首先易见又计算可得所以两子列均收敛,然后由递推式1213两端取极限得由此得到1314解因为1415二、幂指函数的极限1516解令则因此根据命题1.4可得故原式=1.1617三、用洛必达法则与泰勒展开式计算极限应用洛必达法则之前应注意:(2)通过分解、变量的等价替换、析出可成为常数的变量等整理和化简,以便于计算导数

2、;(3)可重复上述步骤.应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数为各自主部的阶数.1718例1设函数f(x)有连续的二阶导数,且解因因此利用命题1.3的结论有1819解用sin6x的泰勒展开式,知应选:C.C注由于f(x)无可微条件,此题不能用洛必达法则.1920例3求解2021例4求解原式=2122解原式=(应用洛必达法则)2223(应用洛必达法则)(用积分中值定理:ξ在0和x之间)2324四、无穷小、无穷大量阶的比较(1)当正整数n→∞时,以下各无穷大数列的阶由低到高排列为:(2)当实数x→+∞时,以下各无穷大量的阶由低到高排列为:2

3、425(3)当x→0时,下列各无穷小量例1设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn是比高阶的无穷小,则正整数n等于()(A)1(B)2(C)3(D)4B-12526例2设则当x→0时,是的().(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小解C2627五、有关两个重要公式(1)(2)2728例1求解当x=0时,原式=1.当x≠0时,原式2829解则拉格朗日中值定理,有其中ξ介于(x-1)与x之间,那么2930于是则2c=1,e2c=e,即3031解例3求313232

4、33注:2009年全国决赛试题有类似题目3334六、求分段函数的极限例1求解3435七、用导数定义求极限解由题设可知于是3536解原式令3637于是原式=→0(n→∞)所以原式=3738八、用定积分定义求极限公式:(函数f(x)连续)例1求分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而3839由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑。解3940例2求解因为而夹逼定理4041例3求解原式=数列极限普通方法难有成效时,可考虑转化为定积分4142九、求极限的反问题解由题设可知1+a+b=0再对极限用洛必达法则因此例1设,求a和b.4243解

5、先用冪指函数处理方法再用导数定义取4344于是因此所以再由则4445例3设函数当x→0时的极限存在,求a的值.解4546例4设函数为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a,b应取什么值?解因为所以要使函数在x=1处连续,必须a+b=1.又因为当a+b=1时所以要使函数在x=1处可导,必须a=2,此时b=−1.4647十.曲线的渐近线1.水平渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线2.垂直渐近线47483.斜渐近线斜渐近线若4849例1曲线渐近线的条数为解曲线有渐近线x=0,y=0,y=x.(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.故正

6、确答案为D.491.3连续50一、函数的连续性,函数的间断点及其分类解(A),(B),(C)不成立可用反例51(D)成立.可用反证法:假若不然没有间断点,那么为两个连续函数乘积,一定连续.故矛盾,52解考虑所以其它皆为第二类间断点。53为0或∞的点,即因为类(无穷)间断点,类(可去)间断点.54例4解右连续但不左连续,55例5解56二、闭区间上连续函数的性质重点为介值定理及其推论关于根的存在性证明问题,一般考虑三种方法:(1)直接运用最大值最小值定理与介值定理;(2)先将结论(或满足条件的等式)中的ξ(或根)换成变量x,再移项使一边为0,令

7、另一边的函数为辅助函数F(x),然后运用零点定理导出结论;(3)用反证法证明.57注零点定理是介值定理的特殊情况,换言之,能用介值定理证明的命题也能用零点定理证明,而后者具有某种规范性,比较容易掌握.58证任取一点a,若f(a)=a,则已满足要求.现设我们有f(b)=a.则函数连续,且与异号,根据介值定理,在a与b之间至少有一点x0,使得即59故有最大值M和最小值m,于是所以60例3证由零点定理,61例4证明讨论:62由零点定理知,综上,63641.4综合习题讲解6465一、填空题解可得所以a=2.6566解所以6667所以6768解f[f

8、(x)]=1.解原式6869解6970所以k-1=1990,即k=1991;解7071二、计算题1.求下列极限解7172727373742.求下列极限按照等价无穷小代换7475解

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