例题2-力学量随时间的演化、展开假定.ppt

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1、14.证明：解：因为且所以15.证明：在离散的能量本征态下，动量的平均值为零。解：因为所以设能量的本征态已归一化，则16.设力学量不显含时间，证明在束缚态下。解：因为所以17.线性谐振子处于基态，计算。解：所以此题也可利用递推公式求得。所以同理可求得、。18.设一量子体系处于所描述的量子态，求：（1）该态下，的可能取值及相应概率；（2）的平均值。解：所以显然，已归一化。可以看出，体系l=1，m=0,1，所以相应概率分别为1/3和2/3，且19.设粒子在宽为的非对称一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态求粒

2、子能量可能取值与相应的取值概率。解：一维无限深势阱中粒子能量的本征解为因为所以，能量取值分别为相应的取值概率都是1/2。20.设粒子处于一维无限深势阱中粒子的波函数为。求（1）归一化常数A；（2）测得粒子处于的概率，特别是；（3）作图，比较与。解：（1）（2）显然，只有当时，。特别的由于所以时，与非常接近。即（3）做出与的曲线，可以看出二者非常接近。21.设作一维自由运动的粒子时刻处于状态分别求出和时粒子的动量与动能的取值概率和平均值。解：自由运动粒子动量本征矢因为把波函数归一化故时刻动量取值、相应概率

3、及平均值分别是时刻动能取值、相应概率及平均值分别是因为所以动量与动能皆为守恒量，所以它们的取值、概率及平均值不会随时间变化。22.一电子被束缚在半径为R的匣子中，求电子的基态能量。解：无限深球方势阱中粒子满足因为势阱球对称，所以电子的角动量守恒。波函数为代入方程中，得基态时则令则因为所以因此因为所以因此所以基态时所以23.质量为的粒子在势场中运动，用不确定关系估计其基态能量。解：中心力场中，基态波函数仅是r的函数，故所以由不确定关系，得求能量极值点，得所以24.一质量为的粒子在对数势中运动。证明：（1）

4、所有的能量本征态都有相同的方均速度，并求之；（2）任何两个能量本征态间的能量间隔是与质量无关的。解：（1）能量本征态的方均速度平方为由位力定理，得（2）由费曼-海尔曼定理，得所以因此，两个能量本征态间的能量间隔与质量无关。与n无关