2021届新高考数学二轮突破专题四第1讲 空间几何体（解析版）.docx

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1、第1讲　空间几何体【要点提炼】考点一　表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)；V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)；V球＝πR3(R为球的半径)．【热点突破】【典例】1　(1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．【答案】　40

2、π【解析】　因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r，则母线长l＝r.在△SAB中，cos∠ASB＝，所以sin∠ASB＝.因为△SAB的面积为5，即SA·SBsin∠ASB＝×r×r×＝5，所以r2＝40，故圆锥的侧面积为πrl＝πr2＝40π.(2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________．【答案】　【解析】　如图，取BC的中点O，连接AO.∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝.∵AA1∥平面BCC1B1，∴

3、点D到平面BCC1B1的距离为.又＝×2×2＝2，∴＝×2×＝.易错提醒　(1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．【拓展训练】1　(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12πB．12πC．8πD．10π【答案】　B【解析】　设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意可知2r＝h＝2，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π.故

4、选B.(2)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为________．【答案】　【解析】　设CD＝DE＝x(00；当x∈时，V′<0.∴当x＝时，Vmax＝.【要

5、点提炼】考点二　多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．【典例】2　(1)已知三棱锥P－ABC满足平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝4，∠APB＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】　64π【解析】　因为AC⊥BC，所以△ABC的外心为斜边AB的中点，因为平面PAB⊥平面ABC，所以三棱锥P－ABC的外接球球心在平面PAB上，即球心就是△PAB的外心，根据正弦定理＝2R，解得R＝4，所以外接球的表面积为4πR2＝64π.(2)(2020

6、·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】　π【解析】　圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故内切球的体积为π3＝π.规律方法　(1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S－ABC的外接球球心O的确定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到过O1的平面ABC的垂线l，在l上找点O，使OS＝OA，点O

7、即为三棱锥S－ABC的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．【拓展训练】2　(1)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A．36πB．64πC．144πD．256π【答案】　C【解析】　如图所示，设球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝R2，因为VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB的面积为定值，当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积