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时间:2021-01-14
《2021届新高考数学二轮突破专题二第2讲 三角函数的图象与性质(解析版).docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2讲 三角函数的图象与性质【要点提炼】考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tanα.2.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.【热点突破】【典例】1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为( )A.B.C.D.【答案】 C【解析】 角α的终边上一点的坐标为,即为点,在第四象限,且满足cosα=,sinα=-,故α的最小正值为,故选C.(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sinθ=cos(2π-θ),则tan2
2、θ等于( )A.-B.C.-D.【答案】 C【解析】 ∵sinθ=cos(2π-θ),∴sinθ=cosθ,得tanθ=,∴tan2θ===-.二级结论 (1)若α∈,则sinα<α3、·tan(π+α)等于( )A.-B.C.-D.【答案】 D【解析】 sin·tan(π+α)=cosα·tanα=sinα,因为α∈(0,π),且cosα=-,所以sinα===.即sin·tan(π+α)=.故选D.【要点提炼】考点二 三角函数的图象与【解析】式三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,4、φ5、<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(6、x).若g=,则f 等于( )A.-2B.-C.D.2【答案】 C【解析】 ∵f(x)的最小正周期为π,∴ω=2.又f(x)=Asin(2x+φ)是奇函数,∴φ=kπ(k∈Z),∵7、φ8、<π,∴φ=0,∴f(x)=Asin2x,则g(x)=Asinx,∵g=,即Asin=,∴A=2.∴f(x)=2sin2x,∴f =2sin=.故选C.(2)设函数g(x)=sinωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x),已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点,则下列结论正确的是________.①f(x)在(9、0,2π)上有且只有3个极大值点,2个极小值点;②f(x)在上单调递增;③ω的取值范围是.【答案】 ②③【解析】 依题意得f(x)=sin=sin,T=,如图:对于①,根据图象可知,xA≤2π10、故②正确.故②③正确.易错提醒 (1)根据零点求φ值时注意是在增区间上还是在减区间上.(2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别.【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)=cos在[-π,π]上的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )A.B.C.D.【答案】 C【解析】 由图象知π11、ω12、<2.因为图象过点,所以cos=0,所以-ω+=kπ+,k∈Z,所以ω=-k-,k∈Z.因为1<13、ω14、<2,故k=-1,得ω=.故f(x)的最小正周期为T15、==.(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P,在原点右侧与x轴的第一个交点为Q,则f 的值为( )A.1B.C.D.【答案】 B【解析】 =16、Px-Qx17、=(Px,Qx分别为P,Q的横坐标),T=π=,ω=2;点P为最高点,代入P的坐标得+φ=2kπ+,k∈Z,φ=2kπ+,k∈Z,又18、φ19、<,则φ=,f(x)=sin,f =sin=sin=,故选B.【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质(1)奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时20、,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.(2)三角函数的周期性:f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为;y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为.(3)根据y=sint的性质研究y=sin(ωx+φ)(ω>0)的性质:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(
3、·tan(π+α)等于( )A.-B.C.-D.【答案】 D【解析】 sin·tan(π+α)=cosα·tanα=sinα,因为α∈(0,π),且cosα=-,所以sinα===.即sin·tan(π+α)=.故选D.【要点提炼】考点二 三角函数的图象与【解析】式三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,
4、φ
5、<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(
6、x).若g=,则f 等于( )A.-2B.-C.D.2【答案】 C【解析】 ∵f(x)的最小正周期为π,∴ω=2.又f(x)=Asin(2x+φ)是奇函数,∴φ=kπ(k∈Z),∵
7、φ
8、<π,∴φ=0,∴f(x)=Asin2x,则g(x)=Asinx,∵g=,即Asin=,∴A=2.∴f(x)=2sin2x,∴f =2sin=.故选C.(2)设函数g(x)=sinωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x),已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点,则下列结论正确的是________.①f(x)在(
9、0,2π)上有且只有3个极大值点,2个极小值点;②f(x)在上单调递增;③ω的取值范围是.【答案】 ②③【解析】 依题意得f(x)=sin=sin,T=,如图:对于①,根据图象可知,xA≤2π10、故②正确.故②③正确.易错提醒 (1)根据零点求φ值时注意是在增区间上还是在减区间上.(2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别.【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)=cos在[-π,π]上的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )A.B.C.D.【答案】 C【解析】 由图象知π11、ω12、<2.因为图象过点,所以cos=0,所以-ω+=kπ+,k∈Z,所以ω=-k-,k∈Z.因为1<13、ω14、<2,故k=-1,得ω=.故f(x)的最小正周期为T15、==.(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P,在原点右侧与x轴的第一个交点为Q,则f 的值为( )A.1B.C.D.【答案】 B【解析】 =16、Px-Qx17、=(Px,Qx分别为P,Q的横坐标),T=π=,ω=2;点P为最高点,代入P的坐标得+φ=2kπ+,k∈Z,φ=2kπ+,k∈Z,又18、φ19、<,则φ=,f(x)=sin,f =sin=sin=,故选B.【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质(1)奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时20、,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.(2)三角函数的周期性:f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为;y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为.(3)根据y=sint的性质研究y=sin(ωx+φ)(ω>0)的性质:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(
10、故②正确.故②③正确.易错提醒 (1)根据零点求φ值时注意是在增区间上还是在减区间上.(2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别.【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)=cos在[-π,π]上的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )A.B.C.D.【答案】 C【解析】 由图象知π11、ω12、<2.因为图象过点,所以cos=0,所以-ω+=kπ+,k∈Z,所以ω=-k-,k∈Z.因为1<13、ω14、<2,故k=-1,得ω=.故f(x)的最小正周期为T15、==.(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P,在原点右侧与x轴的第一个交点为Q,则f 的值为( )A.1B.C.D.【答案】 B【解析】 =16、Px-Qx17、=(Px,Qx分别为P,Q的横坐标),T=π=,ω=2;点P为最高点,代入P的坐标得+φ=2kπ+,k∈Z,φ=2kπ+,k∈Z,又18、φ19、<,则φ=,f(x)=sin,f =sin=sin=,故选B.【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质(1)奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时20、,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.(2)三角函数的周期性:f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为;y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为.(3)根据y=sint的性质研究y=sin(ωx+φ)(ω>0)的性质:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(
11、ω
12、<2.因为图象过点,所以cos=0,所以-ω+=kπ+,k∈Z,所以ω=-k-,k∈Z.因为1<
13、ω
14、<2,故k=-1,得ω=.故f(x)的最小正周期为T
15、==.(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P,在原点右侧与x轴的第一个交点为Q,则f 的值为( )A.1B.C.D.【答案】 B【解析】 =
16、Px-Qx
17、=(Px,Qx分别为P,Q的横坐标),T=π=,ω=2;点P为最高点,代入P的坐标得+φ=2kπ+,k∈Z,φ=2kπ+,k∈Z,又
18、φ
19、<,则φ=,f(x)=sin,f =sin=sin=,故选B.【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质(1)奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时
20、,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.(2)三角函数的周期性:f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为;y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为.(3)根据y=sint的性质研究y=sin(ωx+φ)(ω>0)的性质:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(
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