2021届新高考数学二轮培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式（解析版）.docx

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1、培优点12　用“不动点法”求数列的通项公式【方法总结】对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．【典例】　(1)在数列{an}中，a1＝1,an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式．【解析】　设f(x)＝x＋1，令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点，∴an＋1－2＝(an－2)，∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，∴an－2＝－1×n－1，∴an＝2－n－

2、1，n∈N*.(2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式．【解析】　由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2，＝＝＝·，所以是首项为＝2，公比为的等比数列，所以＝2·n－1，解得an＝＋2＝，n∈N*.【方法总结】(1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列．(2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若

3、f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·.【拓展训练】1．已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式．【解析】　设f(x)＝－x－2，由f(x)＝x，得x＝－.∴an＋1＋＝－，又a1＝4，∴是以为首项，以－为公比的等比数列，∴an＋＝×n－1，∴an＝－＋·n－1，n∈N*.2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．【解析】　解方程x＝，化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，令＝c·，由a1＝2，得a2＝，可得c＝－，∴数列是

4、以＝为首项，以－为公比的等比数列，∴＝·n－1，∴an＝.3．设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，记bn＝(n≥1)．求数列{bn}的通项公式．【解析】　由已知得an＋1＝，由方程x＝，得不动点x1＝，x2＝.所以＝＝·，所以数列是首项为－2，公比为的等比数列，所以＝－2×n－1＝－，解得an＝.故bn＝＝，n∈N*.