2021届新高考数学二轮培优点9 平面向量数量积的最值问题(解析版).docx

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1、培优点9 平面向量数量积的最值问题【方法总结】平面向量部分,数量积是最重要的概念,求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义,从不同角度对数量积进行转化.【典例】 (1)已知⊥,||=,||=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于(  )A.13 B.15 C.19 D.21【答案】 A【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,则B,C(0,t),=,=(0,t),A=+=t+(0,t)=(1,4),∴P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,当且仅当t=时等号成立.∴·的最大值等于13.(2)如图,已知P是半径为2,圆心角为的一段圆弧AB上的一点,若=2,则·的最小值为________.【答案】 5-2【解析】 以圆心为坐标原点,平行于AB的直径所在直线为x轴,AB的垂直平分线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(-。

2、1,),C(2,),设P(2cos θ,2sin θ),则·=(2-2cos θ,-2sin θ)·(-1-2cos θ,-2sin θ)=5-2cos θ-4sin θ=5-2sin(θ+φ),其中0<tan φ=<,所以0<φ<,当θ=-φ时,·取得最小值,为5-2.【方法总结】数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式,转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以还有一种思路是数形结合,应用图形的几何性质.【拓展训练】1.在△ABC中,若A=120°,A·=-1,则||的最小值是________.【答案】 【解析】 由·=-1,得||·||·cos 120°=-1,即||·||=2,。

3、所以||2=|-|2=2-2·+2≥2||·||-2·=6,当且仅当||=||=时等号成立,所以||min =.2.(2020·天津)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为________,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为________.【答案】  【解析】 因为=λ,所以AD∥BC,则∠BAD=120°,所以·=||·||·cos 120°=-,解得||=1.因为,同向,且BC=6,所以=,即λ=.在四边形ABCD中,作AO⊥BC于点O,则BO=AB·cos 60°=,AO=AB·sin 60°=.以O为坐标原点,以BC和AO所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系.如图,设M(a,0),不妨设点N在点M右侧,则N(a+1,0),且-≤a≤.又D,所以=,=,所以·=a2-a+=2+.所以当a=时,·取得最小值.。

4、3.已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=-2,|a+b|=2,则a·b的最大值为________.【答案】 -【解析】 不妨设e=(1,0),a=(1,m),b=(-2,n)(m,n∈R),则a+b=(-1,m+n),故|a+b|==2,所以(m+n)2=3,即3=m2+n2+2mn≥2mn+2mn=4mn,则mn≤,所以a·b=-2+mn≤-,当且仅当m=n=时等号成立,所以a·b的最大值为-.4.在平行四边形ABCD中,若AB=2,AD=1,·=-1,点M在边CD上,则·的最大值为________.【答案】 2【解析】 在平行四边形ABCD中,因为AB=2,AD=1,·=-1,点M在边CD上,所以||·||·cos A=-1,所以cos A=-,所以A=120°,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,所以A(0,0),B(2,0),D.设M,-≤x≤,因为=,=,所以·=x(x-2)+=x2-2x+=(x-1)2-.设f(x)=(x-1)2-,因为x∈,所以当x=-时,f(x)取得最大值2.。

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