2021届新高考数学二轮培优点8 向量共线定理的应用(解析版).docx

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1、培优点8 向量共线定理的应用【方法总结】向量共线定理可以解决一些向量共线,点共线问题,也可由共线求参数;对于线段的定比分点问题,用向量共线定理求解则更加简洁.【典例】1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点,且满足|3--|=0,则△ABM与△ABC的面积之比等于(  )A. B. C. D.【答案】 C【解析】 ∵|3--|=0,∴3--=0,∴+=3.设BC的中点为G,则+=2,∴3=2,即=,∴点M在线段AG上,且=.∴==,易得==,∴=·=×=,即△ABM与△ABC的面积之比等于.(2)在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.【答案】 【解析】 方法一 ∵B,P,N三点共线,∴∥,∴存在实数λ,使得=λ(λ>0),∴-=λ(-),∵λ>0,∴= +.∵=,=m+,∴=m+,∴解得方法二 ∵=,=m+,∴=m+.∵B,P,N三点共。

2、线,∴m+=1,∴m=.【典例】2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中,D 为线段AC的中点,点E在边BC上,且BE=EC,AE与BD交于点O,则等于(  )A.+ B.+C.+ D.+【答案】 A【解析】 如图,设=λ(λ>0),又=+=+,∴=λ+λ=λ+λ.又B,O,D三点共线,∴λ+λ=1,∴λ=,∴=+.(2)在△ABC中,过中线AD的中点E任作一直线分别交AB,AC于M,N两点,设=x, =y(xy≠0),则4x+y的最小值是________.【答案】 【解析】 由D为BC的中点知,=+,又=x,=y(xy≠0),E为AD的中点,故==+,∵M,E,N三点共线,∴+=1,∴4x+y=(4x+y)=++≥2+=,当且仅当=,即x=,y=时取等号.∴4x+y的最小值为.【方法总结】(1)若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.。

3、(2)使用条件“两条线段的交点”时,可转化成两次向量共线,进而确定交点位置.【拓展训练】1.如图,△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于点F,设=a,=b,=xa+yb,则(x,y)等于(  )A. B.C. D.【答案】 C【解析】 由题意得,=xa+yb=x+2y,∵B,F,E三点共线,∴x+2y=1,①同理,=2x+y,∵D,F,C三点共线,∴2x+y=1,②由①②得x=y=,∴(x,y)=.2.(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中,AB=AC=3,D为边BC上一点,·=6,·=,则·的值为________.【答案】 【解析】 ∵D为边BC上一点,可设=λ,∴=+B=(1-λ)+λ.∴①+②得,9+·=,∴·=.3.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正实数),则+的最小值为________.【答案】 【解析】 设=a,=b,则=++=-a+b+b=-a+b.设=λ,则=+=a+λb.因为=ma+nb,所以1-λ=m,λ=n,消去λ得m+n=1,+==1+++≥+2=,当且仅当m=4-2,n=-4时等号成立.所以+的最小值为.。

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