2021届新高考数学二轮培优点4 洛必达法则(解析版).docx

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1、培优点4 洛必达法则【要点提炼】洛必达法则:设函数f(x),g(x)满足:(1)f(x)=g(x)=0(或∞);(2)在U(a)内,f′(x)和g′(x)都存在,且g′(x)≠0;(3) =A(A可为实数,A也可以是±∞).则 = =A(可连续使用).【典例】 已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.解 当x=0时,f(x)=0,对任意实数a都有f(x)≥0;当x>0时,由f(x)≥0得,a≤,设g(x)=,则g′(x)=,令h(x)=xex-2ex+x+2(x>0),则h′(x)=xex-ex+1,记φ(x)=h′(x),则φ′(x)=xex>0,∴h′(x)在(0,+∞)上为增函数,h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,h(x)>h(0)=0,∴g′(x)>0,g(x)在。

2、(0,+∞)上为增函数.由洛必达法则知 = = =,故a≤.综上,实数a的取值范围是.【方法总结】对函数不等式恒成立求参数取值范围时,大家常采用分类讨论、假设反证法,但很难对参数进行讨论.若采取参数与分离变量的方法,在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦,如最值、极值在无意义点处,或趋于无穷.此时,利用洛必达法则.【拓展训练】已知函数f(x)=+,当x>0且x≠1时,f(x)>+恒成立,求k的取值范围.解 由题意,当x>0且x≠1时,f(x)>+恒成立等价于k0,所以,当x>0时,h′(x)≥0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(1)=0,因此,当x∈(0,1)时,h(x)0;即当x∈(0,1)时,g′(x)0;所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法则有g(x)= +1= +1=0,即当x→1时,g(x)→0.所以当x>0且x≠1时,g(x)>0,所以k≤0.故所求k的取值范围是(-∞,0].。

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