高等数学课后题答案(西工大版)第3章.docx

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1、第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理1.填空(1)曲线y=x2在点(1,1)处的切线与连接曲线上两点(0,0),(2,4)的弦平行.(2)对函数f(x)=px2+qx+r在区间[0,2]上应用拉格朗日中值定理时所求得的ξ=1.解(1)设所求点为(x0,x02),因为y'=2x,则曲线在点(x0,x02)处的切线斜率为2x0=42−−00,从中解得x0=1,从而所求点为(1,1).(2)因f(x)=px2+qx+r,则f'(x)=2px+q,f(2)=4p+2q+r,f(0)=r,由拉格朗日中值定理f(2)

2、−f(0)=f'(ξ)(2−0).得4p+2q+r−r=2(2pξ+q),从而ξ=1.2.证明恒等式arcsinx+arccosx=π,(−1≤x≤1).2证设f(x)=arcsinx+arccosx,则f'(x)=1−1=01−x21−x2在(−1,1)内恒成立,因此,在(−1,1)内f(x)为常数,又f(x)在[−1,1]上连续,故f(x)在[−1,1]上为常数.因f(0)=arcsin0+arccos0=π,故在[−1,1]上,2πf(x)=arcsinx+arccosx=.2注意易犯的错误是既不指出f(x)在

3、[−1,1]上连续,又不指出f'(x)=1−1=01−x21−x2只在(−1,1)内成立.3.若方程a0xn+a1xn−1+L+an−1x=0有一个正根x=x0,证明方程a0nxn−1+a1(n−1)xn−2+L+an−1=0必有一个小于x0的正根(n≥2).证令f(x)=a0xn+a1xn−1+L+an−1x,则f'(x)=a0nxn−1+a1(n−1)xn−2+L+an−1,f(x)在[0,x0]上连续,在(0,x0)内可导,且f(0)=f(x0)=0,由罗尔定理,至少有一点ξ∈(0,x0),使f'(ξ)=0,即

4、a0nξn−1+a1(n−1)ξn−2+L+an−1=0,即方程a0nxn−1+a1(n−1)xn−2+L+an−1=0必有一个小于x0的正根.4.设函数f(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=0,令F(x)=(x−a)f(x),证41明存在ξ(a<ξ

5、[a,η]上连续,在(a,η)内可导,且F'(a)=F'(η)=0,由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(a,η)⊂(a,b),使F''(ξ)=0.5.若y=f(x)的导数f'(x)在[a,b]上连续,则必存在常数L>0,使f(x1)−f(x2)≤Lx1−x2,x1,x2∈(a,b).证因为f'(x)在[a,b]上连续,所以f'(x)必在[a,b]上有界,则存在常数L>0,使f'(x)≤L.f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理条件,至少存在一点ξ∈(x1,x2)⊂(a,b),使f(x1)−f(x2)=(x1−x2)

6、f'(ξ),因f'(ξ)≤L,从而f(x1)−f(x2)=x1−x2f'(ξ)≤Lx1−x2.6.证明多项式f(x)=x3−3x+a在[0,1]内不可能有两个零点.证用反证法.设x1,x2∈[0,1],使f(x1)=f(x2)=0,由罗尔定理知,存在ξ∈(x1,x2)⊂(0,1),使f'(ξ)=0,而f'(x)=3x2−3=3(x2−1),在(0,1)内f'(x)<0,与f'(ξ)=0矛盾,故f(x)在[0,1]内不可能有两个零点7.设0

7、1−ξ)eξ(x−x)1221xex2−xex1=(1−ξ)eξ证将要证明的等式变形为12，即证x2−x1ex2−ex1x2xξ1=(ξ−1)e.1−1x2x1令f(x)=ex,g(x)=1,易验证f(x)和g(x)在[x,x]上满足柯西中值定理的条件,于xx12是存在ξ∈(x1,x2),使得f(x2)−f(x1)=f'(ξ),g'(ξ)g(x)−g(x)21ex2−ex1xex−exx2x1=x2=(1−ξ)eξ1−11xx−x2故21x=ξxex2−xex1=(1−ξ)eξ(x2−x).12142第二节洛必达法则

8、1.用洛必达法则求下列极限(1)lim1−1−x(2)limln(1+x2)ex−cosxsecx−cosxx→0x→0(3)limx2e−x2(4)limx−xx1−x+lnxx→∞x→11−11tanx(5)lim(6)limx→0x2xtanxx→0+xπ−x2x(7)lim(cosx)2(8)limarctanxπx→π−x+2解(1)