大学文科数学2极限应用的一个例子-连续函数

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1、第三节极限应用的一个例子——连续函数主要内容：一、连续函数的概念二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质一、连续函数连续函数是微积分研究的主要对象.增量的定义设函数y=f(x)的定义域是X,当自变量从定点x0变化到新的点x时,它们的差称为自变量的增量(或叫做改变量).记做注意:Δx可能是正的,也可能是负的.比如：下面的问题帮助我们理解连续的定义：连续函数的定义连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小.在考虑函数的连续性时，我们一般分三步考虑：例1证明y=sinx在定义域内连续.由于于是证因此y

2、=sinx在定义域内连续.于是f(x)函数的间断点从图形中可以看出x=1是分段点,代入法:利用连续函数的定义,求函数极限的方法.例4由求极限四则运算法则由连续函数的定义二、初等函数的连续性例如,四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性定理严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.推论反三角函数在其定义域内皆连续.该定理表明极限符号可以与函数符号互换.初等函数的连续性★基本初等函数在定义域内是连续的.★一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指定义域内的子区间.例5例6解解1）最大值和最小值定理三、闭区间上连续函数的性质注意:定理中的两个条件缺一不可.若区间是开区间，定

3、理不一定成立;若区间内有间断点，定理不一定成立.例如:f（x）无最大值和最小值.ηf(b)abf(a)例7证由推论,例7四、极限和连续的应用即本利和将按照指数规律增长.现实世界中不少现象的数学模型是如细胞的繁衍，放射元素的衰变，树木的生长等.e