武汉大学平差第2章平差数学模型

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1、第一节概述1.几何模型在测量工作中,为了确定待定点的高程,需要建立水准网,为了确定待定点的平面坐标,需要建立平面控制网(包括测角网、测边网、边角网),我们常把这些网称为几何模型。2.几何量每种几何模型都包含有不同的几何元素,如水准网中包括点的高程、点间的高差,平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。3.函数模型要确定一个几何模型,并不需要知道其中所有元素的大小,只需知道其中的一部分就可以了,其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来,这种描述所求量

2、与已知量之间的关系式称为函数模型。7/15/20211第二章平差数学模型与最小二乘原理第一节概述⑴如图三角形ABC中,为了确定它的形状,只需要知道其中任意两个内角的大小就可以了⑵要确定该三角形的大小和形状,就必须知道三个不同的元素,即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向,则必须知道图中15个元素中的6个不同的元素,至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角,这是确定其位置和方向不可缺少的元素,通常称其为外部配置元素,它们的改变只相当于

3、整个网在坐标系中发生了平移和旋转,并不影响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时,也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角,这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中,实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都是已知点,为确定三角形的大小、形状、位置和方向,则只需要任意两个元素就行了,如两角、两边或一边一角等。7/15/20212第二章平差数学模型与最小二乘原理第一节概述4.必要观测个数我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素,称为必要观测元素。必要观测元素的个数

4、用t表示,称为必要观测个数一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的,即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量,简称独立量。5.多余观测个数假设对模型中的几何量总共观测n个,nt,r=n-tr称为多余观测个数,表示有r个多余观测值,在统计学中也叫自由度。7/15/20213第二章平差数学模型与最小二乘原理第一节概述6.

5、条件方程现在模型中有r个多余观测量,因此,一定也存在着r个这样的函数关系式。每增加一个多余观测,在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系式,有多少个多余观测,就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式,在测量平差中称为条件方程。7/15/20214第二章平差数学模型与最小二乘原理第一节概述7.平差的概念我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。求改正数V消除矛盾产生矛盾多余观测平差V称为观测值的改正数“观测值估值”(又叫平差值、最或是值、最或然值)来代替观测值7/15/202

6、15第二章平差数学模型与最小二乘原理第二节测量平差的数学模型在科学技术领域,通常对研究对象进行抽象概括,用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系,这种数学关系式就称为数学模型。本节详细介绍平差的随机模型和常见的平差函数模型及其建立方法。一、函数模型函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。下面简述各种经典平差方法的线性函数模型及其建立方法。1.条件平差如果有n个观测值,必要观测个数为t,则应列出r=n-t个条件方程:先看书上例子或令:则:上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计

7、算称为条件平差法。建模方法:找出观测值真值之间应该满足的r个关系式。7/15/20216第二章平差数学模型与最小二乘原理第二节测量平差的数学模型一、函数模型2.附有参数的条件平差法如果有n个观测值,必要观测个数为t,则应列出r=n-t个条件方程。现又增设了u个独立量作为未知参数,且0

8、入上式,并令则得上式为附有参数的条件平差的函数模型。建模方法:找出观测值真值之间或观测值与参数真值之间应该满足的C个关系式。7/15/20217第二章平差数学模型与最小二乘原理第二节测量平差的数学模型一、函数模型3.间接平差法选择几何模型中t个独立量为平差参数,将每一个观测量表达成所选参数的函数,共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式,以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。(见例子)一般而言,如果某一平差问题中,观测值个数为n,必要观测个数为t

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