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1、第十节变化率与导数、导数的计算考纲考情广东五年4考 高考指数:★★★★☆1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数并了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数五年考题2013T10T212012T122011T21考情播报1.导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点2.导数的运算一般不单独命题,常在考查导数的应用中同时考查,
2、而导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇命题3.题型主要以选择题、填空题或解答题中的基本的一步的形式出现,属中低档题【知识梳理】1.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_________________=为y=f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)或,即f′(x0)==__________________.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的___________.相应地,切线方程为______________
3、_______.切线的斜率y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)2.函数y=f(x)的导函数称函数f′(x)=为函数y=f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.3.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=__f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=______f(x)=sinxf′(x)=_____f(x)=cosxf′(x)=______f(x)=ax(a>0,且a≠1)f′(x)=_____f(x)=exf′(x)=__f(x)=logax(a>0,且a≠1)f′(x)=____f(x)=lnxf′(x)=__
4、0αxα-1cosx-sinxaxlnaex4.导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=_______________.(2)[f(x)·g(x)]′=______________________.(3)=(g(x)≠0).f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)5.复合函数的导数若y=f(u),u=g(x),则y′x=__________.y′u·u′x【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①y′=f′(x)在点x=x0处的函数值就是函数y=f(x)在点x=x0处的导数值;②求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f
5、′(x0);③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点;④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线;⑤若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+.其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③⑤D.①③④【解析】选C.①正确.根据导数的定义知其正确.②错误.应先求f′(x),再求f′(x0).③正确.如y=1是曲线y=sinx的切线,但其交点个数有无数个.④错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物线y2=x的切线.⑤正确.f′(x)=(f′(a)x2+lnx)′=(f′(a)x2)′+(lnx
6、)′=2xf′(a)+.2.下列求导过程其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①正确，由求导公式可知②正确，③正确;④错误，因为sin为一常数，所以(sin)′=0,故正确的只有①②③三个.3.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为()A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)【解析】选C.f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).4.某汽车的路程函数是s(t)=2t3-gt2(g=10m/s2),则当t=2s时,汽车的加速度是()A.14m/s2
7、B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s2【解析】选A.由题意知,汽车的速度函数为v(t)=s′(t)=6t2-gt,则v′(t)=12t-g,故当t=2s时,汽车的加速度是v′(2)=12×2-10=14(m/s2).5.(2013·大纲版全国卷)已知曲线y=x4+ax2+1在点处切线的斜率为8,a=()A.9B.6C.-9D.-6【解析】选D.由题意可知,点(-1,a+2)在曲线上,因为y′=4x3+2ax,则4×(-1)3+2a×(-1)=8,解得a=-6.6.(2014·济南模拟)曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为.【解析】故
8、y′
9、x=-1=2,所以切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案:y=2x+1考点导数的定义及应用【典例1】(1)已知f′(2)=2,f(
