数学北师大版八年级下册三线合一

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1、专题训练(六)__“三线合一”好解题　　　　　　　　　　　　　　　►　类型之一　证明线段相等1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.图6－ZT－1[解析]欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得∠DBE＝∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E＝30°.由此可得结论．证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∴∠DBE

2、＝∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°，∴∠CDE＋∠E＝60°.∴∠CDE＝∠E＝30°.又∵∠DBE＝30°，∴BD＝DE.(等角对等边)2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.图6－ZT－2[解析]本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一

3、来证明．证明：过点A作AF⊥BC于点F.图ZT－6－1∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)又∵BD＝CE，∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE.►　类型之二　证明两线垂直3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.图6－ZT－3[解析]首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等

4、腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.图ZT－6－24．如图6－ZT－4，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC＝∠BAC.求证：AC⊥BD.图6－ZT－4[解析]首先过点A作AE⊥BC交BC于点E

5、，交BD于点F.由AB＝AC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠CAE＝∠BAC，又由∠DBC＝∠BAC，在△ADF与△BEF中，易证得∠ADF＝∠BEF＝90°，即可得AC⊥BD.证明：如图ZT－6－3，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F.图ZT－6－3∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠DBC.∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°－∠2－∠CAE，∠BEF＝180°－∠1－∠DBC，∴∠ADF＝∠BEF.∵AE⊥BC，∴∠BEF＝

6、90°.∴∠ADF＝90°.∴BD⊥AC.►　类型之三　证明角的倍分关系5．已知：如图6－ZT－5所示，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，AE＝ED，PB分别与线段CF，AF相交于点P，M，∠F＝∠MCD.求证：∠BAC＝2∠MPC.图6－ZT－5[解析]先由AF平分∠BAC证明∠BAE＝∠BAC，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明∠CDE＝∠BAE.从而∠CDE＝∠BAC.然后在△MDC和△MPF中证明∠MDC＝∠MPF.进而得∠MPF＝∠MDC，∠MPC＝∠CDE＝∠BAC即可．证明：∵

7、AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，CE＝BE.∵CE⊥AE，AE＝ED，∴AC＝CD.∴∠CDE＝∠CAE＝∠BAC.∵BC⊥AF，CE＝BE，∴CM＝BM.∴∠CMA＝∠BMA.又∵∠BMA＝∠PMF，∴∠CMD＝∠PMF.又∵∠F＝∠MCD，∠MPF＝180°－(∠F＋∠PMF)，∠MDC＝180°－(∠MCD＋∠CMD)，∴∠MPF＝∠MDC.∴∠MPC＝∠CDE＝∠CAE＝∠BAC.∴∠BAC＝2∠MPC.►　类型之四　证明线段的倍分关系6．如图6－ZT－6，在△ABC中，AB＝A

8、C，点E为BC上一点，ED⊥BC于点E，交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF.图6－ZT－6[解析]方法一：由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF.图ZT－6－4方法二：过点A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”可得∠BAG＝