导数的应用(一)

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1、导数的应用（一）一、课标要求1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。2、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超多三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超多三次的多项式函数的最大值、最小值。3.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。二、知识归纳1、导数应用的知识网络结构图：2、规律方法（1）求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：i）求f′(x)；ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；iii）确认并指

2、出递增区间（或递减区间）。（2）求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：i）求导数f′(x)；ii）求方程f′(x)=0的全部实根；iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。（3）设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：i）求f（x）在（a，b）内的极值；ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确定f（x）的最大值与最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点（单峰函数），那么，只要根

3、据实际意义判定最值，不必再与端点的函数值作比较。三、例题精讲例1:讨论函数的单调性.解:函数的定义域为当x<0或x>1时,故当x<0时,;当x>1时,当0

4、m≥0,故m≤-3或m≥0.xy例3:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0

5、AB

6、=4x-x2,

7、BC

8、=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=

9、AB

10、

11、BC

12、=2x3-12x2+16x(00,则下列关系一定成立的是（）A.f(0)<0B.f(1)>0C.f(1)>f(0)D.f(1)

13、研究函数的性质.解:因为f′(x)>0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0，1)上是（）A.单调增函数B.单调减函数C.在(0，)上是减函数，在(,1)上是增函数D.在(0，)上是增函数，在(,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解：y′=lnx+1,当y′>0时，解得x>.又x∈(0,1),∴

14、函数.故应选C.答案：C3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案:C4.已知函数f(x)=3x3－5x+1,则f′(x)是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数分析：本题考查导数函数的奇偶性.解题的关键是对函数

15、求导,但求导不改变函数的定义域.解：∵f(x)=3x3－5x+1，∴f′(x)=9x2－5(x∈R).∵f′(－x)=f′(x)，∴f′(x)是偶函数.答案：B5.若函数y=x3－3bx+3b在(0，1)内有极小值，则A.00D.b<分析：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解：对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.因为函数在(0，1)内有极小值，所以极值点在(0，1)上.令y′=3x2－3b=0,得x