34 导数的实际应用(理)

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1、§3.4导数的实际应用（理）知识要点梳理：1.优化问题:社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关利润最大,用料最省,效率最高等问题通常称为优化问题.2.利用导数解决实际问题中的最值问题的一般步骤:(1)阅读,审题,将冗长的叙述抽象为简单的、本质性的内容，分析各量之间的关系，以及实际问题的数学模型，，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数解方程(3)求出函数的极值点,比较函数在区间端点和极值点函数值大小，确定函数的最大（小）值.(4)回归,根据数学问题的答案回答实际问题中

2、的优化问题.疑难点、易错点剖析：利用导数解决实际问题中的优化问题应注意的几点:(1)在求实际问题的最值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去。(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这点有极大值(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值。(3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系是用函数关系式给予表示，还应该确定出函数关系式中自变量的定义区间。直击考点:考点一面积、体积最大问题考例1．（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下

3、部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路分析：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解：设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.第9页共9页当1

4、当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。举一反三：要设计一容积为Ｖ的有盖圆柱储油罐，已知侧面积的单位积造价是底面积造价的一半，而盖的单位面积造价又是侧面积造价的一个半，问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？答案:解；由，设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价为得：，解得：：由问题的实际意义，上述Ｓ的惟一可能极值点就是Ｄ的最小值点。故当　　　时，储油罐的造价最省。考点二最大利润问题例１．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生

5、产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）思路分析：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数求最值的方法进行求解。解：每月生产x吨时的利润为故它就是最大值点，且最大值为：第9页共9页答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.锦囊妙计：利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点。举一反三：已知某厂生产件产品成本为（1）要使平均成本最低，就生产多少件产品？（

6、2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，就生产多少件产品？分析：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解。解：（1）设平均成本为元，则令得（舍去）当在x=1000附近左侧时，；在x=1000附近右侧时，；故当x=1000时，y取得极小值.由于函数只有一个点使，且函数在该点取得极小值，那么函数在该点取得最小值。（2）利润函数为L=500x-(25000+200x+)=300-25000-.∴令，得：x=6000,当x在6000附近右侧时；当x在6000附近左侧时；故当x=6000时,取

7、得极大值。由于函数只有一个点使，且函数在该点取得极大值，那么函数在该点取得最大值。因此，要是利润最大，应生产6000件产品。考点三追击用时最少问题考例3.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以a=1m/s2的加速度开始行驶，问这个人是否能追上汽车？若追不上，求出该人与车的最近距离．思路分析:借助物理相关的位移公式建立数学模型,利用导数求最值点.解：假设经过时间t秒后人能追上汽车，此时人所走的位移为S1=6t，汽车所走的位移为，由于△=122-450<0，此

8、方程无解，所以人不能追上汽车．由于人不能追上汽车，所以经过时间t秒后人与汽车之间的距离,求导，得因此，当t=6时，人与车的距离最近，最近距离为7米．第9页共9页故人不能追上汽车．且它们之间的最小距离为7米．锦囊妙计：这是一个关于追赶问题的最小值题，经过转化后，它实际也是一个求二次函数最小值的问题．实际上二次函数的最大（小）值求法除用导数方法外，还可以用顶点坐标法、配方法、图象法等.　举一反三　：（06福建卷）统计表明，某种型号