导数的应用选修1

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1、选修1-1《3.3.3导数的实际应用》例习题的分析教材分析：导数的实际应用是本章的最后一节内容，是在学生通过一定数量的实例，经历了由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会到导数的思想及其内涵，探索出应用导数研究函数的单调性、极值、最值的基础上，再次感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值.发展学生的数学应用意识是新课标的基本理念之一.教材从必修一函数的应用开始，逐步渗透建模思想，加强对学生数学应用意识的培养.因此本节将进一步完善学生的建模思想，培养学生将实际问题转化为数学问题的意识.导数所解决的实际问题之一是处理一些与最优化有关的问

2、题.学生在必修4不等式一章的学习中，体会到了二元线性最优化问题的解决方案---几何解法；感受到了均值不等式在求解最值问题中的价值；可能也接触到了用基本初等函数的性质来研究最值问题的实例.因此，本节课的核心在于以导数为工具，研究所构造出的函数的最值问题.例习题分析：例1：有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？作用分析：使学生明确用函数解决实际问题的基本算法以及注意事项，体会导数在求解最优化问题中的作用.选取理由：本题从选取自变量，到建立函数模型都较为简单，不会给学生

3、造成难上手得困境.函数模型为三次函数，是学生比较熟悉的函数类型，从心理上能减少文科学生的畏难情绪.面对三次函数，学生也能较为自然地想到求导.效果分析：历经从平面到空间，发展学生的空间想象能力；列出函数关系式，锻炼学生的数学符号表示能力；得到函数定义域，培养学生运动变化的数学观点和严谨的治学态度；利用导数的工具性，让学生再次认识到转化与化归的数学思想的引领作用.通过本例的研究，还可以提高学生运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.难点分析：1.含字母的一元二次方程的求解；因式分解在初中教学中要求较低，不能满足高中的要求，在高中也没有专门的课时进行补充，只能随用随讲，

4、顺便提及，这就造成了许多学生一遇到因式分解就束手无策，或不敢尝试，只能放弃的现状.2.当定义域为开区间时，如何利用导数求原函数的最值.上一节的教学是在闭区间的基础上展开的，所以当定义域为开区间时，学生会感到有些不适应.例2：矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比.要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？未选取理由：例2和例1本质上没有区别，但在函数关系式的建立上却增大了难度.“横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比”怎样译成符号语言？是选择高度还是宽度为自变量？当这些问题化解了之后，用导数求解函数的最值同例1就有没什么区别了.

5、练习A—1：设两正数之和为常数C，求该两数之积的最大值.并由此证明不等式：.未选取理由：利用导数证明该命题不是理想的选择，如若想说明求解最值得方法不唯一，用练习A的2或3题就很好.练习A—2：用长度为l的铁丝围成长方形，求围成的最大面积.选取理由：可以向学生提供三种求解思路：二次函数的性质；均值不等式；导数的应用.同时可以让学生进一步理解导函数和原函数之间的关系.当然，能较为简单的用其他知识求函数最值，就不一定非用导数.在方法的选择上，应具有一定的灵活性.练习B—2：做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？作用分析：使学生了解当题

6、目中出现的变量超过两个，又不易直接写出函数关系式时，可先设出若干变量，利用题中条件，寻找这些变量间的关系式，最后，运用消元的思想得到目标函数式.另外，恰当的选择自变量对简化运算也十分重要.选取理由：将题中的语言信息转换成数学符号比较容易，审题不是障碍.与例1不同的是：自变量需要选择；函数关系式是通过消元得到的；函数表达式较为复杂.我认为将此题作为例2更恰当一些：更能突出导数在求最值方面的应用；与例1又有一定的区别，在对学生的能力要求上，又有新的提高.效果分析：开阔了学生的视野，面对“陌生”的函数，敢于运用导数这一有利的工具.练习B—1：等腰三角形的周长为2p，问这个

7、等腰三角形围绕底边旋转一周所成的几何体的体积最大时，各边长分别是多少？选取理由：在处理完练习A—2或3之后，本题可以作为二次函数性质的应用.本题的难点在于布列函数关系式，这对学生的空间想象能力有一定的要求.练习B—3：一跳水运动员，离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是：，求该运动员达到的最大高度.未选取理由：本题利用二次函数的性质很容易得出结论，与“导数的应用”这一课题不相符.练习B—4未被选择的理由同上.习题3-3A—6：用一边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，现从四个角各截去一个相同的小正方形，然后把四边翻转在焊接而成，问水箱底长应取多少，才能