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1、阿波罗尼奥斯问题之名家解法【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】※※※※※※※※金占魁尺规作图系列丛书7【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】※※※※※※※※阿波罗尼奥斯问题之名家解法金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干了起来。第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介：《解法基础》：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。同时还介绍圆退化为点或线后，位似中
2、心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列—福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。《常规解答》：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。可谓洋洋大观解法大全了。《特款解法》：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在《常规解答》之中，比如：两条平行线＋点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特·舒特里克解法、以
3、及相切三圆的Soddy圆的多种解法。《名家解法》：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!2019年7月于随州圆的记法先作如下约定：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。⊙A(R-r
4、)--表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。⊙A(BC)---表示以A为圆心，BC为半径的圆。8【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】※※※※※※※※目录一.希思的复原解法………………………………………………2二.韦达的转化解法………………………………………………4三.牛顿的解法………………………………………………………6四.热尔岗的一般解法………………………………………………7五.庞斯列—福切的解法…………………………………………10六.彼得逊的反演解法……………………………………………12七.埃普斯坦对Soddy圆的解法……
5、……………………………14正文公元前3世纪,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯在《论相切》中,提出这样的一个问题:“已给三个元素,每个元素为点、直线或圆之一种。求作一圆,过已知点(如果元素中有点的话),且与已知直线或圆相切。”阿波罗尼奥斯按已知条件将问题分成10种:点点点(PPP)、线线线(LLL)、点点线(PPL)、点线线(PLL)、点点圆(PPC)、点圆圆(PCC)、线线圆(LLC)、线圆圆(LCC)、点线圆(PLC)、圆圆圆(CCC)。欧几里得在《原本》中讨论了“PPP”、“LLL”的作法,而阿波罗尼奥斯在《论相切》中讨论了其余8种。人们通
6、常将难度最大的第十种(CCC)称为“阿波罗尼奥斯奥斯问题”。该问题从提出至今,已历两千二百余年。众多数学名家为它所吸引,韦达、笛卡儿、牛顿、热尔岗、庞斯列等一流数学家都相继给出他们的解法。9【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】※※※※※※※※五.庞斯列—福切的解法1822年,庞斯列在其《图形之射影性质》中给出了阿波罗尼奥斯问题的另一解法,他运用的是综合法,与上述热尔岗的解法有异曲同工之妙,备受时人推崇。70年后,法国数学家福切应用等角圆方法再次解决了阿波罗尼奥斯问题,不过他的这一解法与庞斯列的解法基本上并无二致。引人注目的是,
7、福切不仅给出问题的一般解,而且还根据已知三圆的位置关系讨论了各种情况下解的个数,同时,他还说明自己的解法同样适用于已知圆被换成点或直线时的特殊情形。如图15所示。图15.庞斯列—福切解法分析图16.庞斯列—福切解法庞斯列—福切的解法具体步骤如下(图16)：步骤1.分别作⊙O1、⊙O2和⊙O1、⊙O3的外位似中心C和B,以C为圆心,作⊙O1、⊙O2的共轴圆(指共根轴),以B为圆心作⊙O1、⊙O3的共轴圆。这两个共轴圆交于M、N。于是目标圆的圆心O在直线MN上。步骤2.作⊙O1、⊙O2和⊙O3的根心S，作出三圆⊙O1、⊙O2和⊙O3的正交圆⊙
8、S，⊙S与⊙O1交于E、F，直线EF交直线BC于T。步骤3.作⊙T(TM)交⊙O1于P、Q。直线O1P、直线O1Q交直线MN于O、O′，则圆O′(O′Q)、圆O（OP）、即是所求。福切又证明:
