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1、高一数学同步培优教材纳思数学教研组编第二章解三角形章节概述：《解三角形》这一章内容，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是高一《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。初中阶段着重定性的讨论三角形中线段与角的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系。本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题求解中的应用。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔,因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。§2.1正弦定理§2.1.1正弦定理教学目标：1、通过对三角形中
2、边角关系的探索，掌握正弦定理的推导过程.2.理解正弦定理及适用范围，会用正弦定理及其变式解决一些简单的解三角形问题.重点难点：正弦定理的推理的理解及正弦定理的掌握.本节难点：正弦定理的推理.教学过程：一、情境：(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想,不禁会问，月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出來的呢？(2)设A,B两点在河的两岸，只给你米尺和量角设备，不过河你可以测出它们之间的距离吗？sinC=1,即c=—,c=—,c=——一，sinAsinBsinC故==在此提出问题，对任意的三角形，是否都存在sinAsinBsinC」一=>—=」
3、一呢？引导学生自己探索证明方法sinAsinBsinC二、新知探究证明一(1)(等面积法)分别作三边上的高，所以Swc=-BCAD=-BCABsmBS/c=-ACBE=-ACBCsinCACARATR「所以得出二上竺，同理可证壬=壬即证。sinBsinCsin3sinA证明二（平面向量法）：过A作单位向量丿垂直于ACCj・(AC+CB)=j・AB贝ij：j・AC+j・CB=j・AB/•IJI•IAC
4、cos90°+1j
5、•
6、CB
7、cos(90°-C)二
8、丿•
9、•
10、ABcos(90°-A)asinC=csinA=ci_b_csinAsinBsinCsinAsinC同理：若过c作］
11、垂直于石得：亠二上sinCsinB当AABC为钝角三角形时，设ZA>90。过A作单位向量丿垂直于向量AC,则丿•与A3的夹fCluC角为A-900,丿•与CB的夹角为90°-C.同样可得一=一—sinAsinBsinC证明三（外接圆法）:如图，在ZLABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c,作ZLABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于；，设BB'=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：BZBAB—90。，ZC=ZBrc/•sinC=sinBf-——2R:.^—=2RsinC同理可得~^—=2R,~^—=2RsinAsinB=2Ra_b_cs
12、inAsinBsinC结论：正眩定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等,即」一二-^—=-^=2R（R为AABC外接圆半径）.sinAsinBsinC三、剖析定理.加深理解1、A+B+C二兀2、大角对大边，大边对大角3、正弦定理可以解决三角形中的问题：①己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角②己知两角和一边，求其他角和边4、一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的儿个元素求其他元素的过程叫解三角形5、正弦定理的变形形式«:Z?:c=sinA:sinB:sinC；d=2RsinA,b=2RsinB,c=2
13、RsinC6、正弦定理，可以用來判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化四、内化新知_-/一-例1在AABC中，A=30°,B=135°,a=2f解三角形。。/已知两角和一边,变式：若将沪2改为c二2,结果如何？一通过例1你发现了什么一般性结论?结论：已知两边和其屮一边的对角，求其他边和角例2己知a=16,Z7=16a/3M=30°,解三角形o解：由正弦定理aZ?oZ?sinA16/3sin30V3sinAsinBa162所以B=60°,或B=120°当B=60°时，C=90°,c=32当B=120°时，C=30°,c=£^J1£=i6sinA变式:a=30,b=
14、26,A=30°,解三角形通过例2你发现了什么一般性结论？小结:,巩固训练：1、(1)在AABC屮，已知A二75°,B=45°,c=3近,求解三角形(2)在zXABC中，己知A二30°,B=120°,b=12,求解三角形2、⑴在厶ABC中,已知b=13,a=26,B=30°，求解三角形(2)在AABC中，已知Zf40,cf20,C=45°，求解三角形3、若沁=竺^竺£,判断口肚的形状4、在AABC证明ccosB+bcosC-a.5、求证:=—ahsinC=—besinA=—acs
