2013年北京高考理科数学试题及答案

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分与不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．5．函数的图像向右平移个单位长度，所得图像与曲线关于轴对称，则（）A．B．C．D．6．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A.B.C.D.7．直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，

2、则与所围成的图形的面积等于（）A．B．C．D．8．设关于、的不等式组所表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．11二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．在极坐标系中，点到直线的距离等于。10．若等比数列满足，，则公比；前项和。11．如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则，。12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一个人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是。（用数字作答）13．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则14．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上

3、，则点到直线的距离的最小值为。三、解答题（共6小题，共80分。）15．（13分）在中，，，（1）求的值。（2）求的值。16．（13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。11（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，。

4、（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值。（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。18．（13分）设为曲线：在点处的切线。（1）求的方程（2）证明：除切点11之外，曲线在直线的下方。19．（14分）已知，，是椭圆：上的三个点，是坐标原点（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积。（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由。20．（13分）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后的各项，11，的最小值记为，（1）若为，，，，，，，，，是一个周期为4的数列（即对任意，）写出，，，的值。（2）设为非负整数，证明：（）的

5、充分必要条件为是公差为的等差数列。（3）证明：若，（）则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.2013年普通高等学校招生全国统一考试11数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。）1．B2．D3．A4．C5．D6．B7．C8．C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．10．，11．，12．13．14．三、解答题（共6小题，共80分。）15．（本小题共13分）解：（1）由正弦定理得因为，所以所以，即（2）由余弦定理：得即解得或若，则，因为，所以，，而所以16．（本小题共13分）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某

6、天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，所以概率为（2）的可能取值为0，1，2此人停留的两天共有13种选择，分别是：，，，，，，，11，，，，，，即此两天中有0天空气质量为优良，分别为为，，，，所以，即此两天中有一天空气质量为优良，，，，所以，即此两天中有两天空气质量为优良，，，，所以所以的分布列为（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17．（本小题共14分）（1）证明：因为四边形是正方形，所以又因为平面平面，平面所以平面（2）解：因为，，所以所以，，两两垂直。以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图则，，，，，，设平面的法向

7、量为，11则有，即，令得，，所以设平面的法向量为则有，即，令得，，所以设二面角的平面角为，则有又因为二面角为锐角，所以余弦值为（3）假设存在题设点，坐标为，则，，设（），则，即，所以，因为，所以，即，解得所以18．（本小题共13分）解：（1），所以，即切线的斜率为所以方程为（2）只需证明且时，，设11由得，由得所以在单调递减，在单调递增。所以当且时，即当且时，，所以19．（本小题共14分）解：（1）因为四边形为菱形，所以垂直平分而，所以方程为对方程，令得，，所以菱形面积为（2）方法一：当点不是的顶点时，直线的斜率存在且不为，设方程为联立方程得设，，则