常微分方程-(第三版)-答案解析

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1、.*常微分方程2.11.,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:3解:原式可化为:.*.*12.解.*15.16.解:,这是齐次方程,令17..*解:原方程化为令方程组则有令当当另外.*19.已知f(x).解:设f(x)=y,则原方程化为两边求导得.*20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。解:令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)

2、t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1.=解:y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2.+3x=e解:原方程可化为:=-3x+e所以:x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3.=-s+解:s=e(e)=e().*=e()=是原方程的解。4.,n为常数.解:原方程可化为:是原方程的解.5.+=解:原方程可化为:=-()=是原方程的解.6.解:=+令则=u因此:=(*)将带入(*)中得:是原方程的解..*.*.*.*13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以,令P(x)=Q(x)

3、=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。两边同除以令P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式.*==15这是n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式==.*16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞

4、(2.28.*)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解;(2)若是(2.3)的非零解,而是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为,其中为任意常数.(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.证明:(2.28)(2.3)(1)设,是(2.28)的任意两个解则(1)(2)(1)-(2)得即是满足方程(2.3)所以,命题成立。(2)由题意得:(3)(4)1)先证是(2.28)的一个解。于是得故是(2.28)的一个解。.*2)现证方程(4)的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则(4’)于是(4’)-(4)得从而即所

5、以,命题成立。(1)设,是(2.3)的任意两个解则(5)(6)于是(5)得即其中为任意常数也就是满足方程(2.3)(5)(6)得即也就是满足方程(2.3)所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解:设为曲线上的任一点,则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为.*即横截距为,纵截距为。由题意得:(5)方程变形为于是所以,方程的通解为。(6)方程变形为于是.*所以,方程的通解为。22.求解下列方程。(1)解:=

6、==(2)P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式===习题2.31、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。1..*解:,=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分,得:2.解:,.则.所以此方程为恰当方程。凑微分,得3.解:则.因此此方程是恰当方程。(1)(2).*对(1)做的积分,则=(3)对(3)做的积分,则==则故此方程的通解为4、解:,..则此方程为恰当方程。凑微分,得:5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0.*解:M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以,=,故

7、原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以,d(sin-cos+x-)=0故所求的解为sin-cos+x-=C求下列方程的解:6.2x(y-1)dx+dy=0解:=2x,=2x所以,=,故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以,d(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解:edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以,de(x-2x+2)+d(xy)=0即d[e(x-2x+2)+xy]=

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