2018年中考数学解法探究专题图形运动中的函数关系问题

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1、2018年中考数学解法探究专题图形运动中的函数关系问题考题研究：在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题冃•解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与X有关的线段长，面积的大小等.这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.解题攻略：图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题.产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系•还有一种不

2、常见的，就是线段全长等于部分线段之和.由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用.类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边.如图1,已知点力的坐标为(3,4),点〃是/轴正半轴上的一个动点，设OB=x,AB=y,那么我们在直角三角形力加中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式.类型二，图形的翻折.已知矩形加BC在坐标平面内如图2所示，AB=5,点0沿直线矿翻折后，点。的对应点〃落在肋边上，设肋=丛OE=y,那么在直角三角形力切中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式.图1由比例线

3、段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用・一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例.一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据更求写出定义域.关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错.解题思路：图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题.计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式;二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的

4、面积比等于相似比的平方.前两种方法容易想到，但是灵活使用第-「种和第四种方法，可以使得运算简单.一般情况下，在求出面积s关于自变量X的函数关系后，会提出在什么情况下（X为何值时），S取得最大值或最小值・例题解析(2017年真题和2017年模拟)1.如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AC=12cm,BD=16cm,动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以lcm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t(

5、s)(t>0),以点M为圆心，MB长为半径的与射线BA,线段BD分别交于点E,F,连接EN.(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围;(2)当t为何值时，线段EN与相切？(3)若(DM与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围.曲,解方程即【分析】(1)连接MF.只要证明MF〃AD,可得器黑，即BAdu可;(2)当线段EN与(DM相切时•，易知厶BEN^ABOA,可得影詈，即号二西存解方程即可；(3)由题意可知：当0

6、•四边形ABCD是菱形,・・・AB二AD,AC±BD,OA=OC=6,OB=OD=8,在RtAAOB中，AB=762+82=10»VMB=MF,AB=AD,・・・ZABD=ZADB=ZMFB,・・.MF〃AD,(2)当线段EN与OM相切时，易知△BENs/^BOA,・BEBN••,OBAB.2t16-2t•*T=10:・・t二十32t=V吋，线段EN与OM相切.32(3)由题意可知：当0

7、m,点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ二k・AP(k>0),联接PC、PQ.(1)求00的半径长；(2)当k二2时，设AP二x,ACPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)如果Z^PQ与AABC相似，且ZACB二ZCPQ,求k的值.备用图【考点】MR：圆的综合题.【分析】(1)首先证明ZACB二90。，然后利用勾股定理即可解决问题.(2)如图2中，作PH丄BC于H.由PH〃AC,推出厚学，推出罟-耳丄，ACAB610推岀PH=-

8、(10-x),根据y二寺*CQ・P

9、H计算即可.(3)因为△CPQ与ZABC相似，ZCPQ=ZACB=90°,又因为ZCQP>ZB,所以只有ZPCB=ZB,推出PC=PB,由ZB+ZA二90°,ZACP+ZPCB二90°,推出ZA=ZACP,推出PA=PC=PB=5,由厶COQ^ABCA,推出詩诣推即可解决问题.【解答】解：(1)TAB是直径，AZACB=90°,VAC=6,BC=8,・•・aB二VaC24-BC%‘・・・O0的半径为5.(2)如