2019高考数学专题——导数的几何意义

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1、专题6.破解高考命题陷阱之导数的几何意义一.命题陷阱1•在某点处的切线方程2.过某点的切线方程3.与切线有关的戢值问题4.导数的物理意义5.导数与反函数综合6.导数的儿何意义综合7.分段函数的导数几何意义问题二.陷阱示例及防范措施1.在某点处的切线方程例1.曲线/(x)=x3-x+l在点(1,1)处的切线方程是()A.2x—丿一1=0或x+4,一5=0B.2x-y-=0C.x+p-2=0或x+4尹一5=0D.x+y-2=0【答案】B【解析】点(U)在曲线y=力上,贝=贝'b-l=2(x-l),^2x-y-l=Q?故选练习1・已知/(x)是定义在7?上的单调函数,满足/[/(x)-eY

2、]=l,则/(x)在(0,/(0))处的切线方程为()A.y=x+B.y=x-1C.y=-x--D.y=-x-【答案】A【解析】由题意可得f(x)-ex为一固定的数,设a=f(x)-ex,则有/(^)=1.由4=f{x)-ex可得/(x)=a+ex,当x=a时,有/(a)=a--ea=1,解得67=0.・・・/(W,・••广(兀)="。・・・/'(0)=/=1,又/(0)=e°=lo・・・曲线/(x)在(0,/(0))处的切线方程为y-1二x,即尹=x+1。选A。【防陷阱措施】:本题的求解中,将f(x)-ex为一固定的数Q成了解题的关键所在,然后在此基础上,再进行代换求值,直

3、到求出。为止,从而得到f(x)=exf最后根据导数的儿何意义可得切线方程。练习2.函数/(x)=ev+cosx的图像在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.2B.4C.—D.—22【答案】A【解析】:f{x)=e+cosx,=—sinx,/,(0)=lo又/(o)=2.二函数y=/仗)在兀=0处的切线方程为y-2=xf即x—y+2=0°令x=0>得尸2;令y=0>得x=~2o二切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=:x2x2=2。选Ao2练习3.设函数/(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(l,g(l))处的切线方程为y=2x+t则曲线y=Jx)在点(1,/(

4、1))处的切线的斜率为()A.2B.C.4D.42【答案】C【解析】对函数/(x)=g(x)+x2,求导“J得/,(x)=g*(x)+2x,Vj^=g(x)在点(l,g⑴)处的切线方程为尹=2x+l,・・・g'(l)=2,・・・/'(l)=g'(l)+2xl=2+2=4,・・・p=/(x)在点(1,/(1))处切线斜率为4,故选C.练习4.如右图,直线y=ax+2与曲线y=f(x)交于/、B两点,其屮/是切点,记f(x/7(x)=—,g(x)=/(x)-or,贝9下列判断正确的是()XA.〃(兀)只有一个极值点A./?(x)有两个极值点,且极小值点小于极大值点B.g(x)的极小值点小

5、于极大值点,且极小值为-2C.g(x)的极小值点大于极大值点,且极大值为2【答案】D【解析】设切点/的坐标为则由条件得f(兀)=0。且当xa)当x>Xq时,fx)0?g〔对单调递増;当丸A兀时〉gx)=fx)-a<0?£(丸)单调递减。・••当x=x0时g(x)有极大值,且极大值为g(x°)=/(x0)-ox0=2o同理g(x)有极小值。结合图形可得g(x)的极小值点大于极大值点。选D。练习5.已知函数/(X)是定义在(O,+s)的可导函数,/'(X)为其导函数

6、,当x>0且XH1时,2f(x)+xfx)^o若曲线尹二/(工)在兀=1处的切线的斜率为一扌,则/(1)=()21A.0B.1C.-D.-85【答案】C【解析】当£>0且"1时,"(刃+了(叽0,可得;x—1£>1时,2f(£+#'(££>xX}时,2f(£+#'(£0;1>£X}时,g'(£<0.3可得:函数g(x)在x=l处取得极值,.•.g,(l)=2/(l)+/,(l)=0,/,(1)=--,/(1)=383故答案为?81.过某点的切线方程D.(1,+

7、°°)例2.过点A(gn)与曲线f(x)=xlnx相切的直线有且只有两条,则实数m的取值范围是()A.C00,。)【答案】B【解析】设切点为(M0))f(x)=lnx+£所以切线方程为:Y-xo,nxo=(lnxo+1)(x-xo代入A(m/m))得亠巳Inx■(X)二m_X°lnX°=(lnx°+1)(m_Xo),即这个关于X。的方程有两个解•化简方程为川尔0=X。,即mX。,令XInx豪1-lnxIg(x)=—g(x)=^-g(e)=-(

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