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1、10【题1】如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面M上，三条棱AB.AC,AD都在平面M的同侧，若顶点B,C到平面M的距离分别为则顶点D到平面M的距离为【分析】本题的条件正规,但位置不正规.牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角,但难于下手.出路何在?在正方体的8个顶点中,有关系的只有4个（其他顶点可不予理会）.这4点组成直角四面体,这就是本题的根.所以最终归结为:已知直角四面体的3个顶点A,B,C到平面M的距离依次为0,求顶点D到平面M的距离.【解析】如解图,连结BCD,则四面体A-BCD为直角四面体.作平面M的法线AH,再作,BB1⊥平面M于B1,C
2、C1⊥平面M于C1,DD1⊥平面M于D1.连结AB1,AC1,AD1,令那么.已知,解得;.即所求点D到平面α的距离为.以下交代解法原理.如附图,设P-ABC为直角四面体（即PA,PB,PC两两互相垂直的四面体）.作PH⊥底面ABC于H,连HAHBHC.令.10由体积法很容易证明:或者:.在附图1中令,即有:注意到∠APH=90°-α,∠BPH=90°-β,∠CPH=90°-γ,则（1）式又可改写为:请注意,公式（2）比公式（1）更重要,这是因为只要PH在直角四面体内部,那么它与3条直角棱所成角的余弦都满足公式（2）【题2】（北京市通州区2016高三
3、四月模拟理数14题）图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙的一个树形图。我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈，黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）。比如第一行记为（0,1），第2行记为（1,2），第3行记为（4,5）.照此下去，第四行的“坐标”为，第n行的“坐标”为。【分析】本题第1问由于行数不多,直接计数是比较简便的办法.第2问抽象,难于寻找发展规律.我们的办法,从研究每行黑,白圈数量之差入手,即豁然开朗.101.将前3行的树形图完整如解图所示：按照分形规律，第3行有4个白圈，5个黑圈，那么第
4、4行的白圈数是4×2+5×1=13个，黑圈数比白圈数多一个（或者用5×2+4×1计算），所以第四行的“坐标”为（13,14）。2.（寻找规律,借助方程）如果不分黑，白圈，那么各行圈的种总数依次为：由于每一行的黑圈数总是比白圈数多1，故若设第n行的白圈数为x，则这一行的黑圈数为x+1.由.故第n行的“坐标”为.【题3】（2016华北，华中，西南省级名校高三联考。15题）已知数列【分析】求解递推数列的一般方法,是按照递推法则写出数列的前几项,然后寻找这些数与数列的项数之间存在怎样的对应关系.本数列的前几项依次是:1,4,12,32,80,⋯.我们看到,它
5、们既不成等差关系,也不成等比关系.那么,会不会是两者的综合性数列呢?朝这方面想,果然成功.【解析】（合理推测.科学归纳）依次写出这个数列的前几项是：据此推测：。10【评注】以上推测可用数学归纳法证明如下：N=1,2时,分别有推测成立.假定n≤k+1（k≥2）时,总有这就是说,对于任意正整数k,都成立.【题4】（江苏南通三模.13题）如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,顶点C,D在函数的图象上,记AB=m,BC=n,则的最大值为【分析】解本题的必然道路是:先确定这个矩形各个顶点的坐标.已知矩形的长与宽分别为m和n必须再设定一个参数,然后将m,n都用这个
6、参数表示.以下的发展方向就是设法使用均值不等式了.【解析】如解图,设矩形各顶的坐标依次为,有:于是:10显然的最大值只在时出现.当且仅当,即所求的最大值为.此时有评注:最值问题常借助均值不等式解决.但须遵循均值不等式存在的条件.【题5】（2016年山西3月调考理数12题）已知F1,F2是双曲线,且.若P是该双曲线右支上一点,且则面积的最大值是【分析】.本题之形虽然有双曲线,其实只用到双曲线的焦点,所以无需考虑采用双曲线的其他知识.倒是条件值得关注,因为满足这样条件的轨迹正是阿波罗圆,因而有如下妙解【解析1】满足题设条件的轨迹是阿氏圆C.当PC⊥直线时
7、,面积最大.若点M内分线段为2：1,则;.若点N内分线段为2：1,则.故阿氏圆直径.此时面积的最大值为.故选B.10评注,若不具备阿氏圆的知识,本题一般解法是:如附图,双曲线焦点分别为.设为双曲线右支上一点,,化简得：,显然当.从而.故选B.【题6】（2016.江苏三模.14题）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为若△ABC为锐角三角形,且满足,则的取值范围是【分析】△ABC是锐角三角形,自然每个角都以直角为界.但由条件,知.故只需考察角B与CD的临界状态.【解析】（特值法1）由条件知△ABC为锐角三角形时,B,C均为锐角.如解图1,若B=90°,
8、则此时A=C=45°.∴B=2A.如解图2,若C=90°,则10此时A=30°,B=60°,则有但是B,C均
