相似三角形常用模型及应用

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1、相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型A字形图①字型，结论：，图②反字型，结论：图③双字型，结论：，图④内含正方形字形，结论（为正方形边长）图①图②图③图④8字型图①8字型，结论：，图②反8字型，结论：、四点共圆图③双8字型，结论：，图④8字型，结论：图⑤，结论：、图①图②图③图④图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形相似三角形模型及应用图①图②图③图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：，图②外角分线型，结论：图③斜射影定理型，结论：，图④射影定理型，结论：1、，2、，3、梅涅劳斯型常用辅助线中考满分必做题考点一相似三角形【例1】如图，、是的边、上的

2、点，且，求证：.【例2】如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，，求的长.相似三角形模型及应用【例1】如图，中，，点是内一点，使得，，则________．【例2】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用字形与字形【例3】在中，，的延长线交的延长线于，求证：.【例4】如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：【例5】如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.相似三角形模型及应用求证：.考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似

3、三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】一块直角三角形木板的一条直角边长为米，面积为平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图①所示，乙设计的方案如图②所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）【例1】中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【例2】如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．相似三角形模型及应用【例1】如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．【例2】如图，在中

4、，，，，动点（与点，不重合）在边上，∥交于点．（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长．（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长．（3）试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．考点四：与平行四边形有关的相似问题【例3】如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、、，若，，则的长是___________．【例4】如图，已知，，求证：.相似三角形模型及应用【例1】如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值．【例2】如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，，且与的交点

5、为点，求的面积。【例3】如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.考点五与梯形有关的相似问题相似三角形模型及应用【例1】如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（）A．B．C．D．【例2】如图，梯形中，，两条对角线、相交于，若，那么________．【例3】如图，在梯形中，，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长．【例4】已知：如图，在梯形中，，是的中点，分别连接、、、，且与交于点

6、，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长.【例5】如图，在梯形中，，分别是的中点，交相似三角形模型及应用于，交于，求的长．【例1】如图，已知梯形中，，，,,（）,,交于点，连接.（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.考点六：相似三角形与实际问题☞考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米。已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为_____米【例24】如图，王华同学

7、晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为米，他继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，已知王华的身高是米，那么路灯的高度等于（）A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米考点七：位似☞考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】如图，与的位似中心为点，若，，则与的面积比是________，与的比是__________相似三角形模型及应用【例23】作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（）A.位似中心可以是多边形的一个顶点B.位似中心可以任意选取C.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D.所作出位似图形的大

8、小与位似中心的位置有关【