相似三角形与三角函数综合应用

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1、-学习改变命运-相似三角形与三角函数综合应用教学内容智康笔记【知识框架】【精选例题】（一）相似三角形的判定与性质的应用【例1】设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC①证明：PC＝2AQ②当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明。168-学习改变命运-【例2】图①图②（1）已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°.求证：线段DE、AD、EB总能

2、构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．【例3】如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN．BACMNPEFQDG图168-学习改变命运-（二）相似与函数结合：求点的坐标、线段的长度【例4】已知：反比例函数和在平面直

3、角坐标系第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，AB∥y轴，与的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与、的图象交于点C、D.（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.【例5】如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若

4、PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是，b＝，c＝；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．168-学习改变命运-【例6】如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D

5、的坐标．（三）相似与动点结合：要注意分类讨论【例7】（2009年中山）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：；（2）设BM＝，梯形ABCN的面积为，求与之间的函数关系式；当Ｍ点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，求的值．168-学习改变命运-【例8】（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点Ｃ，分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点Ｇ与点Ｂ重合．（1）求△ABC的面积；（

6、2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．ADBEOCFxyy（G）168-学习改变命运-【例9】如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且（1）求的值．（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直

7、接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．xyADBOC【课堂练习】1.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；168-学习改变命运-（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出的

8、值；若不相似，请说明理由1.（2009恩施市）如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为．（1）用表示的面积；（2）求出时与的函数关系式；168-学习改变命运-（3）求出时与的函数关系式；（4